미적분 예제

$f (x) = x^{5} - \frac{1}{15 x^{5}}$ , $x = 1$

단계 1

도함수를 구합니다.

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단계 1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{5} - \frac{1}{15 x^{5}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$

단계 1.1.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$- \frac{1}{15}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{15 x^{5}}$ 의 미분은 $- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ 입니다.

$5 x^{4} - \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

단계 1.2.2

$\frac{1}{x^{5}}$ 을 ${(x^{5})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$5 x^{4} - \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

단계 1.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

단계 1.2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

단계 1.2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

단계 1.2.4

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

단계 1.2.5

${(x^{5})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.2.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

단계 1.2.5.2

$5$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

단계 1.2.6

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

단계 1.2.7

지수를 더하여 $x^{- 10}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 1.2.7.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

단계 1.2.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 x^{4 - 10})$

단계 1.2.7.3

$4$ 에서 $10$ 을 뺍니다.

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 x^{- 6})$

단계 1.2.8

$- 5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$5 x^{4} + 5 (\frac{1}{15}) x^{- 6}$

단계 1.2.9

$5$ 와 $\frac{1}{15}$ 을 묶습니다.

$5 x^{4} + \frac{5}{15} x^{- 6}$

단계 1.2.10

$\frac{5}{15}$ 와 $x^{- 6}$ 을 묶습니다.

$5 x^{4} + \frac{5 x^{- 6}}{15}$

단계 1.2.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 6}$ 를 분모로 이동합니다.

$5 x^{4} + \frac{5}{15 x^{6}}$

단계 1.2.12

$5$ 및 $15$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.12.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$5 x^{4} + \frac{5 (1)}{15 x^{6}}$

단계 1.2.12.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.12.2.1

$15 x^{6}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$5 x^{4} + \frac{5 (1)}{5 (3 x^{6})}$

단계 1.2.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$5 x^{4} + \frac{5 \cdot 1}{5 (3 x^{6})}$

단계 1.2.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$5 x^{4} + \frac{1}{3 x^{6}}$

단계 2

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = 5 {(1)}^{4} + \frac{1}{3 {(1)}^{6}}$

단계 3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = 5 \cdot 1 + \frac{1}{3 {(1)}^{6}}$

단계 3.2

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = 5 + \frac{1}{3 {(1)}^{6}}$

단계 3.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = 5 + \frac{1}{3 \cdot 1}$

단계 3.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = 5 + \frac{1}{3}$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $5$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f' (1) = 5 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

단계 5

$5$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f' (1) = \frac{5 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (1) = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3}$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (1) = \frac{15 + 1}{3}$

단계 7.2

$15$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (1) = \frac{16}{3}$