미적분 예제

$\tan^{-1} (x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$\tan^{-1} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 입니다.

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$

단계 1.2

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ 을 ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{- 1})$

단계 2.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

단계 2.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

단계 2.3

미분합니다.

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단계 2.3.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

단계 2.3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

단계 2.3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

단계 2.3.4.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

단계 2.4.2

항을 묶습니다.

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단계 2.4.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

단계 2.4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

단계 2.4.2.3

$x$ 와 $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.4.2.4

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f'' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ 입니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

단계 3.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

단계 3.3.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 3.3.3

${(x^{2} + 1)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 3.4

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 3.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 3.4.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 3.5

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 3.5.2

${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.5.2.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 3.5.2.2

$- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 3.5.2.3

$(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 3.6

공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.1

${(x^{2} + 1)}^{4}$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.6.2

공약수로 약분합니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.7

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.9

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.10

식을 간단히 합니다.

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단계 3.10.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.10.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.11

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.12

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.13

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.14

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.15

$x^{2}$ 에서 $4 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.16

$- 2$ 와 $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = \frac{- 2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.17

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f''' (x) = - \frac{(2) (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.18

간단히 합니다.

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단계 3.18.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f''' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.18.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.18.2.1

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.18.2.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.18.3

$- 6 x^{2} + 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.18.3.1

$- 6 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.18.3.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.18.3.3

$2 (- 3 x^{2}) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.18.4

$- 3 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.18.5

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f''' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.18.6

$- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.18.7

$- (3 x^{2} - 1)$ 을 $- 1 (3 x^{2} - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f''' (x) = - \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.18.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

단계 3.18.9

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 1 (\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

단계 3.18.10

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$