미적분 예제

$y = 2 x - \tan (x)$

단계 1

$y = 2 x - \tan (x)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 2 x - \tan (x)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $2 x - \tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

단계 2.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

단계 2.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

단계 2.1.2.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \tan (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 입니다.

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \tan (x)$

단계 2.1.3.2

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$f' (x) = 2 - \sec^{2} (x)$

단계 2.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.2.1

미분합니다.

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단계 2.2.1.1

합의 법칙에 의해 $2 - \sec^{2} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

단계 2.2.1.2

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \sec^{2} (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sec^{2} (x)$

단계 2.2.2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sec (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

단계 2.2.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 0 - (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

단계 2.2.2.2.3

$u$ 를 모두 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

단계 2.2.2.3

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

단계 2.2.2.4

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

단계 2.2.2.5

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

단계 2.2.2.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 0 - (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

단계 2.2.2.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 0 - (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

단계 2.2.2.8

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

단계 2.2.3

$0$ 에서 $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

단계 2.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ 입니다.

$- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

단계 3

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$ 을 풉니다.

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단계 3.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$

단계 3.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$\sec^{2} (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

단계 3.3

$\sec^{2} (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.3.1

$\sec^{2} (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\sec^{2} (x) = 0$

단계 3.3.2

$\sec^{2} (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{0}$

단계 3.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sec (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 3.3.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\sec (x) = \pm 0$

단계 3.3.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$\sec (x) = 0$

단계 3.3.2.3

시컨트의 범위는 $y \leq - 1$ 과 $y \geq 1$ 입니다. $0$ 이 이 영역에 속하지 않으므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3.4

$\tan (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.4.1

$\tan (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\tan (x) = 0$

단계 3.4.2

$\tan (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.4.2.1

탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$x = \arctan (0)$

단계 3.4.2.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.4.2.2.1

$\arctan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 3.4.2.3

탄젠트 함수는 제1사분면과 제3사분면에서 양의 값을 가집니다. 두번째 해를 구하려면 $π$ 에 기준각을 더하여 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = π + 0$

단계 3.4.2.4

$π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x = π$

단계 3.4.2.5

$\tan (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 3.4.2.5.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 3.4.2.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 1 |}$

단계 3.4.2.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{π}{1}$

단계 3.4.2.5.4

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 3.4.2.6

함수 $\tan (x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = π n, π + π n$

단계 3.5

$- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = π n, π + π n$

단계 3.6

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = π n$

단계 4

$f (x) = 2 x - \tan (x)$ 에 을 대입하여 구한 점은 $(,)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(,)$

단계 5

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

단계 6

$(- \infty,)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 0.1) = - 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$

단계 6.2

최종 답은 $- 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$ 입니다.

$- 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$

단계 6.3

$- 0.1$ 에서의 이계도함수는 $0.20268949$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- \infty,)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty,)$ 에서 증가함

단계 7

$(, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (0.1) = - 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$

단계 7.2

최종 답은 $- 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$ 입니다.

$- 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$

단계 7.3

$0.1$ 에서의 2차 미분값은 $- 0.20268949$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(, \infty)$ 에서 감소함

단계 8

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(,)$ 입니다.

$(,)$

단계 9