미적분 예제

$y = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

단계 1

$y = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} + 2}$ 을(를) ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 2.1.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 2.1.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

단계 2.1.3

${({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

단계 2.1.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

단계 2.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.4

간단히 합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.5

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.5.2

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 2$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.6.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.6.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 2$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.10

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.11

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.11.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.11.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.11.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.11.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.12

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.13

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (2))}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.14

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.15

분수를 통분합니다.

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단계 2.1.15.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.15.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.15.3

$- 2$ 와 $\frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.15.4

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.16

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.17

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.18

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.19

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.20

$- 2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.21

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.21.1

$2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.21.2

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.21.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.22

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.23

공통 분모를 가지는 분수로 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.24

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.25

지수를 더하여 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.25.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.25.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.25.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.25.4

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{(x^{2} + 2) - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.26

${(x^{2} + 2)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{x^{2} + 2 - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.27

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{0 + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.28

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.29

$\frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 2})$

단계 2.1.30

$\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{x^{2} + 2}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2)})$

단계 2.1.31

지수를 더하여 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{2} + 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.31.1

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{2} + 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.31.1.1

$x^{2} + 2$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2)})$

단계 2.1.31.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + 1}})$

단계 2.1.31.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}})$

단계 2.1.31.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 2}{2}}})$

단계 2.1.31.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}})$

단계 2.1.32

$2$ 와 $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{2 \cdot 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.1.33

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}})$

단계 2.2.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

$\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ 을 ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})$

단계 2.2.1.2.2

${({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1})$

단계 2.2.1.2.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}})$

단계 2.2.1.2.2.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3}{2}})$

단계 2.2.1.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}})$

단계 2.2.2

$f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ , $g (x) = x^{2} + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 2$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

단계 2.2.2.2

$n = - \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

단계 2.2.2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 2$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

단계 2.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

단계 2.2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

단계 2.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

단계 2.2.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

단계 2.2.6.2

$- 3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

단계 2.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

단계 2.2.8

${(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}}$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 4 (- \frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

단계 2.2.9

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.9.1

${(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f'' (x) = 4 (- \frac{3 \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

단계 2.2.9.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

단계 2.2.9.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 4 (\frac{3}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

단계 2.2.10

$\frac{3}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ 와 $- 4$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{3 \cdot - 4}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

단계 2.2.11

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 12}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

단계 2.2.12

$- 12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 6}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

단계 2.2.13

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.13.1

$2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 6}{2 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

단계 2.2.13.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 6}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

단계 2.2.13.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{- 6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

단계 2.2.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

단계 2.2.15

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))$

단계 2.2.16

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (2))$

단계 2.2.17

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

단계 2.2.18

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.18.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x)$

단계 2.2.18.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

단계 2.2.18.3

$- 2$ 와 $\frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot 6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

단계 2.2.18.4

$- 2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 12}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

단계 2.2.18.5

$\frac{- 12}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{- 12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 2.2.18.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 2.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ 입니다.

$- \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $- \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$- \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} = 0$

단계 3.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$12 x = 0$

단계 3.3

$12 x = 0$ 의 각 항을 $12$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$12 x = 0$ 의 각 항을 $12$ 로 나눕니다.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

단계 3.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{12}$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$0$ 을 $12$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 4

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ 에 $0$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = \frac{2 (0)}{\sqrt{{(0)}^{2} + 2}}$

단계 4.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = \frac{0}{\sqrt{0^{2} + 2}}$

단계 4.1.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = \frac{0}{\sqrt{0 + 2}}$

단계 4.1.2.2.2

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (0) = \frac{0}{\sqrt{2}}$

단계 4.1.2.3

$0$ 을 $\sqrt{2}$ 로 나눕니다.

$f (0) = 0$

단계 4.1.2.4

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 4.2

$f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ 에 $0$ 을 대입하여 구한 점은 $(0, 0)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(0, 0)$

단계 5

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 6

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 0.1) = - \frac{12 (- 0.1)}{{({(- 0.1)}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$12$ 에 $- 0.1$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{({(- 0.1)}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 6.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$- 0.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{(0.01 + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 6.2.2.2

$0.01$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{2.01}^{\frac{5}{2}}}$

단계 6.2.2.3

$2.01$ 을 ${1.41774468}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{({1.41774468}^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

단계 6.2.2.4

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{1.41774468}^{2 (\frac{5}{2})}}$

단계 6.2.2.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{1.41774468}^{2 (\frac{5}{2})}}$

단계 6.2.2.5.2

수식을 다시 씁니다.

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{1.41774468}^{5}}$

단계 6.2.2.6

$1.41774468$ 를 $5$ 승 합니다.

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{5.72783031}$

단계 6.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$- 1.2$ 을 $5.72783031$ 로 나눕니다.

$f'' (- 0.1) = 0.20950341$

단계 6.2.3.2

$- 1$ 에 $- 0.20950341$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.1) = 0.20950341$

단계 6.2.4

최종 답은 $0.20950341$ 입니다.

$0.20950341$

단계 6.3

$- 0.1$ 에서의 이계도함수는 $0.20950341$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 증가함

단계 7

$(0, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (0.1) = - \frac{12 (0.1)}{{({(0.1)}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$12$ 에 $0.1$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{({0.1}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 7.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$0.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{(0.01 + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 7.2.2.2

$0.01$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{2.01}^{\frac{5}{2}}}$

단계 7.2.2.3

$2.01$ 을 ${1.41774468}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{({1.41774468}^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

단계 7.2.2.4

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{1.41774468}^{2 (\frac{5}{2})}}$

단계 7.2.2.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{1.41774468}^{2 (\frac{5}{2})}}$

단계 7.2.2.5.2

수식을 다시 씁니다.

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{1.41774468}^{5}}$

단계 7.2.2.6

$1.41774468$ 를 $5$ 승 합니다.

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{5.72783031}$

단계 7.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

$1.2$ 을 $5.72783031$ 로 나눕니다.

$f'' (0.1) = - 1 \cdot 0.20950341$

단계 7.2.3.2

$- 1$ 에 $0.20950341$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1) = - 0.20950341$

단계 7.2.4

최종 답은 $- 0.20950341$ 입니다.

$- 0.20950341$

단계 7.3

$0.1$ 에서의 2차 미분값은 $- 0.20950341$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(0, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(0, \infty)$ 에서 감소함

단계 8

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(0, 0)$ 입니다.

$(0, 0)$

단계 9