미적분 예제

$y = 12 x$ , $y = x^{2}$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$12 x = x^{2}$

단계 1.2

$12 x = x^{2}$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$12 x - x^{2} = 0$

단계 1.2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$12 u - u^{2} = 0$

단계 1.2.2.2

$12 u - u^{2}$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1

$12 u$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u \cdot 12 - u^{2} = 0$

단계 1.2.2.2.2

$- u^{2}$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u \cdot 12 + u (- u) = 0$

단계 1.2.2.2.3

$u \cdot 12 + u (- u)$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$u (12 - u) = 0$

단계 1.2.2.3

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$x (12 - x) = 0$

단계 1.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$12 - x = 0 + y = x^{2}$

단계 1.2.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 1.2.5

$12 - x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$12 - x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$12 - x = 0$

단계 1.2.5.2

$12 - x = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.1

방정식의 양변에서 $12$ 를 뺍니다.

$- x = - 12$

단계 1.2.5.2.2

$- x = - 12$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.2.1

$- x = - 12$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 12}{- 1}$

단계 1.2.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 12}{- 1}$

단계 1.2.5.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 12}{- 1}$

단계 1.2.5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.2.3.1

$- 12$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 12$

단계 1.2.6

$x (12 - x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 12$

단계 1.3

$x = 0$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$y = {(0)}^{2}$

단계 1.3.2

$y = {(0)}^{2}$ 에서 $x$ 에 $0$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 0^{2}$

단계 1.3.2.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$y = 0$

단계 1.4

$x = 12$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x$ 에 $12$ 를 대입합니다.

$y = {(12)}^{2}$

단계 1.4.2

$y = {(12)}^{2}$ 에서 $x$ 에 $12$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 12^{2}$

단계 1.4.2.2

$12$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = 144$

단계 1.5

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(0, 0)$

$(12, 144)$

$(0, 0)$

$(12, 144)$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{0}^{12} 12 x d x - \int_{0}^{12} x^{2} d x$

단계 3

$0$ 과(와) $12$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{0}^{12} 12 x - (x^{2}) d x$

단계 3.2

$- 1$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{12} 12 x - x^{2} d x$

단계 3.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{12} 12 x d x + \int_{0}^{12} - x^{2} d x$

단계 3.4

$12$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $12$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$12 \int_{0}^{12} x d x + \int_{0}^{12} - x^{2} d x$

단계 3.5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{12}) + \int_{0}^{12} - x^{2} d x$

단계 3.6

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{12}) + \int_{0}^{12} - x^{2} d x$

단계 3.7

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{12}) - \int_{0}^{12} x^{2} d x$

단계 3.8

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{12}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{12})$

단계 3.9

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{12}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{12})$

단계 3.9.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.1

$12$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$12 ((\frac{12^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{12})$

단계 3.9.2.2

$12$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$12 (\frac{12^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{12^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.1

$12$ 를 $2$ 승 합니다.

$12 (\frac{144}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{12^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.2

$144$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.2.1

$144$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$12 (\frac{2 \cdot 72}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{12^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$12 (\frac{2 \cdot 72}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{12^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$12 (\frac{2 \cdot 72}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{12^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$12 (\frac{72}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{12^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.2.2.4

$72$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$12 (72 - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{12^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$12 (72 - \frac{0}{2}) - (\frac{12^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.4

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.4.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$12 (72 - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{12^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$12 (72 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{12^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$12 (72 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{12^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$12 (72 - \frac{0}{1}) - (\frac{12^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.4.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$12 (72 - 0) - (\frac{12^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.5

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$12 (72 + 0) - (\frac{12^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.6

$72$ 를 $0$ 에 더합니다.

$12 \cdot 72 - (\frac{12^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.7

$12$ 에 $72$ 을 곱합니다.

$864 - (\frac{12^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.8

$12$ 를 $3$ 승 합니다.

$864 - (\frac{1728}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.9

$1728$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.9.1

$1728$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$864 - (\frac{3 \cdot 576}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.9.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$864 - (\frac{3 \cdot 576}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$864 - (\frac{3 \cdot 576}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$864 - (\frac{576}{1} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.9.2.4

$576$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$864 - (576 - \frac{0^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.10

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$864 - (576 - \frac{0}{3})$

단계 3.9.2.3.11

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.11.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$864 - (576 - \frac{3 (0)}{3})$

단계 3.9.2.3.11.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.11.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$864 - (576 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

단계 3.9.2.3.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$864 - (576 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

단계 3.9.2.3.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$864 - (576 - \frac{0}{1})$

단계 3.9.2.3.11.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$864 - (576 - 0)$

단계 3.9.2.3.12

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$864 - (576 + 0)$

단계 3.9.2.3.13

$576$ 를 $0$ 에 더합니다.

$864 - 1 \cdot 576$

단계 3.9.2.3.14

$- 1$ 에 $576$ 을 곱합니다.

$864 - 576$

단계 3.9.2.3.15

$864$ 에서 $576$ 을 뺍니다.

$288$

단계 4