미적분 예제

$y = e^{x}$ , $y = x e^{x^{2}}$ , $(1, e)$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

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단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$e^{x} = x e^{x^{2}}$

단계 1.2

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

$x = 1$

단계 1.3

$x = 1$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$

단계 1.3.2

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$ 에서 $x$ 에 $1$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

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단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 1 \cdot e^{1^{2}}$

단계 1.3.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$

단계 1.3.2.3

$(1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.3.2.3.1

$e^{{(1)}^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = e^{{(1)}^{2}}$

단계 1.3.2.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = e^{1}$

단계 1.3.2.3.3

간단히 합니다.

$y = e$

단계 1.4

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(1, e)$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{1}^{e} x e^{x^{2}} d x - \int_{1}^{e} e^{x} d x$

단계 3

$1$ 과(와) $e$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

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단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} - (e^{x}) d x$

단계 3.2

$- 1$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} - e^{x} d x$

단계 3.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} d x + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

단계 3.4

먼저 $u_{2} = e^{x^{2}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.4.1

$u_{2} = e^{x^{2}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.4.1.1

$e^{x^{2}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

단계 3.4.1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.4.1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.4.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.4.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x^{2}} (2 x)$

단계 3.4.1.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1.4.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$2 e^{x^{2}} x$

단계 3.4.1.4.2

$2 e^{x^{2}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$2 x e^{x^{2}}$

단계 3.4.2

$u_{2} = e^{x^{2}}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = e^{1^{2}}$

단계 3.4.3

간단히 합니다.

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단계 3.4.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{lower} = e^{1}$

단계 3.4.3.2

간단히 합니다.

$u_{lower} = e$

단계 3.4.4

$u_{2} = e^{x^{2}}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = e^{e^{2}}$

단계 3.4.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = e$

$u_{upper} = e^{e^{2}}$

단계 3.4.6

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{e}^{e^{e^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

단계 3.5

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

단계 3.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} - \int_{1}^{e} e^{x} d x$

단계 3.7

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} - (e^{x}]_{1}^{e})$

단계 3.8

대입하여 간단히 합니다.

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단계 3.8.1

$e^{e^{2}}$ , $e$ 일 때, $\frac{1}{2} u_{2}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{2} e^{e^{2}}) - \frac{1}{2} e - (e^{x}]_{1}^{e})$

단계 3.8.2

$e$ , $1$ 일 때, $e^{x}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{2} e^{e^{2}}) - \frac{1}{2} e - ((e^{e}) - e^{1})$

단계 3.8.3

간단히 합니다.

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단계 3.8.3.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{e^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{1}{2} e - ((e^{e}) - e^{1})$

단계 3.8.3.2

$e$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{e}{2} - ((e^{e}) - e^{1})$

단계 3.8.3.3

간단히 합니다.

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{e}{2} - (e^{e} - e)$

단계 3.8.3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- (e^{e} - e)$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - (e^{e} - e) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e}{2}$

단계 3.8.3.5

$- (e^{e} - e)$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{e^{2}}}{2} + \frac{- (e^{e} - e) \cdot 2}{2} - \frac{e}{2}$

단계 3.8.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{e^{e^{2}} - (e^{e} - e) \cdot 2}{2} - \frac{e}{2}$

단계 3.8.3.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 (e^{e} - e)}{2} - \frac{e}{2}$

단계 3.9

간단히 합니다.

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단계 3.9.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 (e^{e} - e) - e}{2}$

단계 3.9.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.9.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} - 2 (- e) - e}{2}$

단계 3.9.2.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} + 2 e - e}{2}$

단계 3.9.3

$2 e$ 에서 $e$ 을 뺍니다.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} + e}{2}$

단계 4