미적분 예제

$y = x^{2} + 3$ ; $y = 6 x - 6$ ; $- 1 \leq x \leq 2$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$x^{2} + 3 = 6 x - 6$

단계 1.2

$x^{2} + 3 = 6 x - 6$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 양변에서 $6 x$ 를 뺍니다.

$x^{2} + 3 - 6 x = - 6$

단계 1.2.2

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$x^{2} + 3 - 6 x + 6 = 0$

단계 1.2.3

$3$ 를 $6$ 에 더합니다.

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

단계 1.2.4

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} - 6 x + 3^{2} = 0$

단계 1.2.4.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

단계 1.2.4.3

다항식을 다시 씁니다.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 0$

단계 1.2.4.4

$a = x$ 이고 $b = 3$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

${(x - 3)}^{2} = 0$

단계 1.2.5

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 1.2.6

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 1.3

$x = 3$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$y = 6 (3) - 6$

단계 1.3.2

$6 (3) - 6$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = 18 - 6$

단계 1.3.2.2

$18$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$y = 12$

단계 1.4

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(3, 12)$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{- 1}^{2} x^{2} + 3 d x - \int_{- 1}^{2} 6 x - 6 d x$

단계 3

$- 1$ 과(와) $2$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{- 1}^{2} x^{2} + 3 - (6 x - 6) d x$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} + 3 - (6 x) - - 6$

단계 3.2.2

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{2} + 3 - 6 x - - 6$

단계 3.2.3

$- 1$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$x^{2} + 3 - 6 x + 6$

$\int_{- 1}^{2} x^{2} + 3 - 6 x + 6 d x$

단계 3.3

$3$ 를 $6$ 에 더합니다.

$\int_{- 1}^{2} x^{2} - 6 x + 9 d x$

단계 3.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} - 6 x d x + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

단계 3.5

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - 6 x d x + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

단계 3.6

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

단계 3.7

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

단계 3.8

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

단계 3.9

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 9 x]_{- 1}^{2}$

단계 3.10

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.1

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}$ 와 $9 x]_{- 1}^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{3} + 9 x]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2})$

단계 3.10.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.1

$2$ , $- 1$ 일 때, $\frac{1}{3} x^{3} + 9 x$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2})$

단계 3.10.2.2

$2$ , $- 1$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 8 + 9 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.2

$\frac{1}{3}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{3} + 9 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.3

$9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} + 18 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $18$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} + 18 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.5

$18$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{3} + \frac{18 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{8 + 18 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.7.1

$18$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{8 + 54}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.7.2

$8$ 를 $54$ 에 더합니다.

$\frac{62}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.8

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{62}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.9

$\frac{1}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{62}{3} - (\frac{- 1}{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.11

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} - 9) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.12

공통 분모를 가지는 분수로 $- 9$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} - 9 \cdot \frac{3}{3}) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.13

$- 9$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3}) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.14

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{62}{3} - \frac{- 1 - 9 \cdot 3}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.15

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.15.1

$- 9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{62}{3} - \frac{- 1 - 27}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.15.2

$- 1$ 에서 $27$ 을 뺍니다.

$\frac{62}{3} - \frac{- 28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.16

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{62}{3} - - \frac{28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.17

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{62}{3} + 1 (\frac{28}{3}) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.18

$\frac{28}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{62}{3} + \frac{28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.19

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{62 + 28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.20

$62$ 를 $28$ 에 더합니다.

$\frac{90}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.21

$90$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.21.1

$90$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 30}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.21.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.21.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 30}{3 (1)} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.21.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot 30}{3 \cdot 1} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.21.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{30}{1} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.21.2.4

$30$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$30 - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.22

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$30 - 6 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.23

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.23.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.23.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.23.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.23.2.2

공약수로 약분합니다.

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.23.2.3

수식을 다시 씁니다.

$30 - 6 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.23.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$30 - 6 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

단계 3.10.2.3.24

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$30 - 6 (2 - \frac{1}{2})$

단계 3.10.2.3.25

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$30 - 6 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

단계 3.10.2.3.26

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

단계 3.10.2.3.27

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$30 - 6 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

단계 3.10.2.3.28

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.28.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$30 - 6 \frac{4 - 1}{2}$

단계 3.10.2.3.28.2

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$30 - 6 (\frac{3}{2})$

단계 3.10.2.3.29

$- 6$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$30 + \frac{- 6 \cdot 3}{2}$

단계 3.10.2.3.30

$- 6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$30 + \frac{- 18}{2}$

단계 3.10.2.3.31

$- 18$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.31.1

$- 18$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$30 + \frac{2 \cdot - 9}{2}$

단계 3.10.2.3.31.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.3.31.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$30 + \frac{2 \cdot - 9}{2 (1)}$

단계 3.10.2.3.31.2.2

공약수로 약분합니다.

$30 + \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 1}$

단계 3.10.2.3.31.2.3

수식을 다시 씁니다.

$30 + \frac{- 9}{1}$

단계 3.10.2.3.31.2.4

$- 9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$30 - 9$

단계 3.10.2.3.32

$30$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$21$

단계 4