미적분 예제

$y = 8 x (20 - x)$ ; $[0, 20]$

단계 1

$y = 8 x (20 - x)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 8 x (20 - x)$

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

$f (x)$ 는 $[0, 20]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 4

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 5

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 8 x (20 - x) d x)$

단계 6

$8 x (20 - x)$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 8 x \cdot 20 + 8 x (- x) d x)$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$20$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x + 8 x (- x) d x)$

단계 7.2

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 x \cdot x d x)$

단계 7.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 (x \cdot x) d x)$

단계 7.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 (x \cdot x) d x)$

단계 7.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 x^{1 + 1} d x)$

단계 7.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 x^{2} d x)$

단계 8

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x d x + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

단계 9

$160$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $160$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 \int_{0}^{20} x d x + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

단계 11

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

단계 12

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) - 8 \int_{0}^{20} x^{2} d x)$

단계 13

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) - 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20}))$

단계 14

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{20}))$

단계 14.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

$20$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 ((\frac{20^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{20}))$

단계 14.2.2

$20$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 14.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.3.1

$20$ 를 $2$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{400}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 14.2.3.2

$400$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.3.2.1

$400$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{2 \cdot 200}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 14.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.3.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{2 \cdot 200}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 14.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{2 \cdot 200}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 14.2.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{200}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 14.2.3.2.2.4

$200$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 14.2.3.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{0}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 14.2.3.4

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.3.4.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{2 (0)}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 14.2.3.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.3.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 14.2.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 14.2.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{0}{1}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 14.2.3.4.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - 0) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 14.2.3.5

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 + 0) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 14.2.3.6

$200$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 \cdot 200 - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 14.2.3.7

$160$ 에 $200$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 14.2.3.8

$20$ 를 $3$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 14.2.3.9

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{0}{3}))$

단계 14.2.3.10

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.3.10.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

단계 14.2.3.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.3.10.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

단계 14.2.3.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

단계 14.2.3.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{0}{1}))$

단계 14.2.3.10.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - 0))$

단계 14.2.3.11

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} + 0))$

단계 14.2.3.12

$\frac{8000}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3}))$

단계 14.2.3.13

$- 8$ 와 $\frac{8000}{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 + \frac{- 8 \cdot 8000}{3})$

단계 14.2.3.14

$- 8$ 에 $8000$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 + \frac{- 64000}{3})$

단계 14.2.3.15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - \frac{64000}{3})$

단계 14.2.3.16

공통 분모를 가지는 분수로 $32000$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 \cdot \frac{3}{3} - \frac{64000}{3})$

단계 14.2.3.17

$32000$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{32000 \cdot 3}{3} - \frac{64000}{3})$

단계 14.2.3.18

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{32000 \cdot 3 - 64000}{3})$

단계 14.2.3.19

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.3.19.1

$32000$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{96000 - 64000}{3})$

단계 14.2.3.19.2

$96000$ 에서 $64000$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{32000}{3})$

단계 15

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{20 + 0} \cdot \frac{32000}{3}$

단계 15.2

$20$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{32000}{3}$

단계 16

$20$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$32000$ 에서 $20$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 (1600)}{3}$

단계 16.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 \cdot 1600}{3}$

단계 16.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1600}{3}$

단계 17