미적분 예제

$y = 2 e^{- x}$ ; $[0, 5]$

단계 1

$y = 2 e^{- x}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 2 e^{- x}$

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

$f (x)$ 는 $[0, 5]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 4

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 5

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 2 e^{- x} d x)$

단계 6

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (2 \int_{0}^{5} e^{- x} d x)$

단계 7

먼저 $u = - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u = - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$- x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- x]$

단계 7.1.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 7.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 7.2

$u = - x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 0$

단계 7.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 7.4

$u = - x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - 1 \cdot 5$

단계 7.5

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = - 5$

단계 7.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 5$

단계 7.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (2 \int_{0}^{- 5} - e^{u} d u)$

단계 8

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (2 (- \int_{0}^{- 5} e^{u} d u))$

단계 9

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 \int_{0}^{- 5} e^{u} d u)$

단계 10

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 (e^{u}]_{0}^{- 5}))$

단계 11

대입하여 간단히 합니다.

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단계 11.1

$- 5$ , $0$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 ((e^{- 5}) - e^{0}))$

단계 11.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 (e^{- 5} - 1 \cdot 1))$

단계 11.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 (e^{- 5} - 1))$

단계 12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 (\frac{1}{e^{5}} - 1))$

단계 12.2

분배 법칙을 적용합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 \frac{1}{e^{5}} - 2 \cdot - 1)$

단계 12.3

$- 2$ 와 $\frac{1}{e^{5}}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{- 2}{e^{5}} - 2 \cdot - 1)$

단계 12.4

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{- 2}{e^{5}} + 2)$

단계 12.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{2}{e^{5}} + 2)$

단계 13

분모를 간단히 합니다.

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단계 13.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot (- \frac{2}{e^{5}} + 2)$

단계 13.2

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{2}{e^{5}} + 2)$

단계 14

항을 간단히 합니다.

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단계 14.1

분배 법칙을 적용합니다.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{2}{e^{5}}) + \frac{1}{5} \cdot 2$

단계 14.2

$\frac{1}{5}$ 에 $\frac{2}{e^{5}}$ 을 곱합니다.

$A (x) = - \frac{2}{5 e^{5}} + \frac{1}{5} \cdot 2$

단계 14.3

$\frac{1}{5}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$A (x) = - \frac{2}{5 e^{5}} + \frac{2}{5}$

단계 15