미적분 예제

$f (x) = x (x - 1)$ ; $[3, 8]$

단계 1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[3, 8]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x (x - 1) d x)$

단계 5

$x (x - 1)$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x \cdot x + x \cdot - 1 d x)$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x^{1 + 1} + x \cdot - 1 d x)$

단계 6.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x^{2} + x \cdot - 1 d x)$

단계 6.3

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x^{2} - 1 \cdot x d x)$

단계 6.4

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x^{2} - x d x)$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x^{2} d x + \int_{3}^{8} - x d x)$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{8} + \int_{3}^{8} - x d x)$

단계 9

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{8} - \int_{3}^{8} x d x)$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{8} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{8}))$

단계 11

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{8} - (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{8}))$

단계 11.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$8$ , $3$ 일 때, $\frac{1}{3} x^{3}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} ((\frac{1}{3} \cdot 8^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{8}))$

단계 11.2.2

$8$ , $3$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} \cdot 8^{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

단계 11.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.1

$8$ 를 $3$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} \cdot 512 - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.2

$\frac{1}{3}$ 와 $512$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.3

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} - \frac{1}{3} \cdot 27 - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.4

$27$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} - 27 (\frac{1}{3}) - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.5

$- 27$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{- 27}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.6

$- 27$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.2.3.6.1

$- 27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 9}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.6.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{- 9}{1} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.6.2.4

$- 9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} - 9 - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 9$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} - 9 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.8

$- 9$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512 - 9 \cdot 3}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.10

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.10.1

$- 9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512 - 27}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.10.2

$512$ 에서 $27$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.11

$8$ 를 $2$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{64}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.12

$64$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.12.1

$64$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{2 \cdot 32}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.12.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.12.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} - \frac{3^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} - \frac{3^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{32}{1} - \frac{3^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.12.2.4

$32$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (32 - \frac{3^{2}}{2}))$

단계 11.2.3.13

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (32 - \frac{9}{2}))$

단계 11.2.3.14

공통 분모를 가지는 분수로 $32$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (32 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}))$

단계 11.2.3.15

$32$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{32 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}))$

단계 11.2.3.16

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - \frac{32 \cdot 2 - 9}{2})$

단계 11.2.3.17

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.17.1

$32$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - \frac{64 - 9}{2})$

단계 11.2.3.17.2

$64$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - \frac{55}{2})$

단계 11.2.3.18

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{485}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{55}{2})$

단계 11.2.3.19

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{55}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{55}{2} \cdot \frac{3}{3})$

단계 11.2.3.20

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.20.1

$\frac{485}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{55}{2} \cdot \frac{3}{3})$

단계 11.2.3.20.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485 \cdot 2}{6} - \frac{55}{2} \cdot \frac{3}{3})$

단계 11.2.3.20.3

$\frac{55}{2}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485 \cdot 2}{6} - \frac{55 \cdot 3}{2 \cdot 3})$

단계 11.2.3.20.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485 \cdot 2}{6} - \frac{55 \cdot 3}{6})$

단계 11.2.3.21

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485 \cdot 2 - 55 \cdot 3}{6})$

단계 11.2.3.22

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.22.1

$485$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{970 - 55 \cdot 3}{6})$

단계 11.2.3.22.2

$- 55$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{970 - 165}{6})$

단계 11.2.3.22.3

$970$ 에서 $165$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{805}{6})$

단계 12

$8$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{805}{6}$

단계 13

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.1

$805$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 (161)}{6}$

단계 13.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 161}{6}$

단계 13.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{161}{6}$

단계 14