미적분 예제

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = x^{2} + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.2

$x^{2} + 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.5

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.2.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.7

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.8.1

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.8.2

$3$ 을 $- 1 (- 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) - 1 \cdot - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.8.3

$- (x^{2}) - 1 (- 3)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.8.4

$- (x^{2} - 3)$ 을 $- 1 (x^{2} - 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = \frac{- 1 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.1.8.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ 입니다.

$- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$x^{2} - 3 = 0$

단계 2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x^{2} = 3$

단계 2.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

단계 2.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{3}$

단계 2.3.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{3}$

단계 2.3.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $\sqrt{3}, - \sqrt{3}$ 입니다.

$\sqrt{3}, - \sqrt{3}$

단계 4

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - \sqrt{3})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2.7320508$ 을 대입합니다.

$f' (- 2.7320508) = - \frac{{(- 2.7320508)}^{2} - 3}{{({(- 2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 2.7320508$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 2.7320508) = - \frac{7.46410157 - 3}{{({(- 2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

단계 5.2.1.2

$7.46410157$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{({(- 2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

단계 5.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$- 2.7320508$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{(7.46410157 + 3)}^{2}}$

단계 5.2.2.2

$7.46410157$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{10.46410157}^{2}}$

단계 5.2.2.3

$10.46410157$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{109.49742174}$

단계 5.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$4.46410157$ 을 $109.49742174$ 로 나눕니다.

$f' (- 2.7320508) = - 1 \cdot 0.04076901$

단계 5.2.3.2

$- 1$ 에 $0.04076901$ 을 곱합니다.

$f' (- 2.7320508) = - 0.04076901$

단계 5.2.4

최종 답은 $- 0.04076901$ 입니다.

$- 0.04076901$

단계 5.3

$x = - 2.7320508$ 에서의 도함수는 $- 0.04076901$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, - \sqrt{3})$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, - \sqrt{3})$ 에서 감소함

단계 6

$(- 1.7320508, \sqrt{3})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = - \frac{{(0)}^{2} - 3}{{({(0)}^{2} + 3)}^{2}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f' (0) = - \frac{0 - 3}{{(0^{2} + 3)}^{2}}$

단계 6.2.1.2

$0$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f' (0) = - \frac{- 3}{{(0^{2} + 3)}^{2}}$

단계 6.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f' (0) = - \frac{- 3}{{(0 + 3)}^{2}}$

단계 6.2.2.2

$0$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f' (0) = - \frac{- 3}{3^{2}}$

단계 6.2.2.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (0) = - \frac{- 3}{9}$

단계 6.2.3

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$- 3$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1.1

$- 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f' (0) = - \frac{3 (- 1)}{9}$

단계 6.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1.2.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f' (0) = - \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3}$

단계 6.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$f' (0) = - \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3}$

단계 6.2.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (0) = - \frac{- 1}{3}$

단계 6.2.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (0) = \frac{1}{3}$

단계 6.2.4

최종 답은 $\frac{1}{3}$ 입니다.

$\frac{1}{3}$

단계 6.3

$x = 0$ 에서의 도함수는 $\frac{1}{3}$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- 1.7320508, \sqrt{3})$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ 에서 증가함

단계 7

$(\sqrt{3}, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2.7320508$ 을 대입합니다.

$f' (2.7320508) = - \frac{{(2.7320508)}^{2} - 3}{{({(2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$2.7320508$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (2.7320508) = - \frac{7.46410157 - 3}{{({2.7320508}^{2} + 3)}^{2}}$

단계 7.2.1.2

$7.46410157$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{({2.7320508}^{2} + 3)}^{2}}$

단계 7.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$2.7320508$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{(7.46410157 + 3)}^{2}}$

단계 7.2.2.2

$7.46410157$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{10.46410157}^{2}}$

단계 7.2.2.3

$10.46410157$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{109.49742174}$

단계 7.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

$4.46410157$ 을 $109.49742174$ 로 나눕니다.

$f' (2.7320508) = - 1 \cdot 0.04076901$

단계 7.2.3.2

$- 1$ 에 $0.04076901$ 을 곱합니다.

$f' (2.7320508) = - 0.04076901$

단계 7.2.4

최종 답은 $- 0.04076901$ 입니다.

$- 0.04076901$

단계 7.3

$x = 2.7320508$ 에서의 도함수는 $- 0.04076901$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(\sqrt{3}, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(\sqrt{3}, \infty)$ 에서 감소함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, - \sqrt{3}), (\sqrt{3}, \infty)$

단계 9