미적분 예제

$f (x) = 3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 \cos^{2} (x)$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 입니다.

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

단계 1.1.2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

단계 1.1.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

단계 1.1.2.2.3

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 3 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

단계 1.1.2.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$f' (x) = 3 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

단계 1.1.2.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 3 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

단계 1.1.2.5

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 \sin (x)$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \frac{d}{d x} \sin (x)$

단계 1.1.3.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ 입니다.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) = 0$

단계 2.2

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ 을 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ 에서 $6 \cos (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1.1

$- 6 \cos (x) \sin (x)$ 에서 $6 \cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) - 6 \cos (x) = 0$

단계 2.2.1.2

$- 6 \cos (x)$ 에서 $6 \cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 6 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

단계 2.2.1.3

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 6 \cos (x) \cdot - 1$ 에서 $6 \cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x) - 1) = 0$

단계 2.2.2

$- 1 \sin (x)$ 을 $- \sin (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$6 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$\cos (x) = 0$

$- \sin (x) - 1 = 0$

단계 2.4

$\cos (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$\cos (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\cos (x) = 0$

단계 2.4.2

$\cos (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.4.2.1

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (0)$

단계 2.4.2.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.2.1

$\arccos (0)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$x = \frac{π}{2}$

단계 2.4.2.3

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

단계 2.4.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 2.4.2.4.2

분수를 통분합니다.

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단계 2.4.2.4.2.1

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 2.4.2.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

단계 2.4.2.4.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.4.3.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 π - π}{2}$

단계 2.4.2.4.3.2

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{3 π}{2}$

단계 2.4.2.5

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 2.4.2.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 2.4.2.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 2.4.2.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 2.4.2.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 2.4.2.6

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

단계 2.5

$- \sin (x) - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

$- \sin (x) - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- \sin (x) - 1 = 0$

단계 2.5.2

$- \sin (x) - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.5.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$- \sin (x) = 1$

단계 2.5.2.2

$- \sin (x) = 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.2.1

$- \sin (x) = 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

단계 2.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

단계 2.5.2.2.2.2

$\sin (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (x) = \frac{1}{- 1}$

단계 2.5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.2.3.1

$1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\sin (x) = - 1$

단계 2.5.2.3

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (- 1)$

단계 2.5.2.4

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.4.1

$\arcsin (- 1)$ 의 정확한 값은 $- \frac{π}{2}$ 입니다.

$x = - \frac{π}{2}$

단계 2.5.2.5

사인 함수는 제3사분면과 제4사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 해를 빼서 기준각을 찾습니다. 그리고 이 기준각에 $π$ 를 더하여 제3사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

단계 2.5.2.6

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.6.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

단계 2.5.2.6.2

결과 각인 $\frac{3 π}{2}$ 은 양의 값으로 $2 π$ 보다 작으며 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 과 양변을 공유하는 관계입니다.

$x = \frac{3 π}{2}$

단계 2.5.2.7

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 2.5.2.7.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 2.5.2.7.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 2.5.2.7.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 2.5.2.7.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 2.5.2.8

모든 음의 각에 $2 π$ 를 더하여 양의 각을 얻습니다.

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단계 2.5.2.8.1

$- \frac{π}{2}$ 에 $2 π$ 를 더하여 양의 각도를 구합니다.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

단계 2.5.2.8.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 2.5.2.8.3

분수를 통분합니다.

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단계 2.5.2.8.3.1

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 2.5.2.8.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

단계 2.5.2.8.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.8.4.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 π - π}{2}$

단계 2.5.2.8.4.2

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$\frac{3 π}{2}$

단계 2.5.2.8.5

새 각을 나열합니다.

$x = \frac{3 π}{2}$

단계 2.5.2.9

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

단계 2.6

$6 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

단계 2.7

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + π n$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $\frac{π}{2} + π n$ 입니다.

$\frac{π}{2} + π n$

단계 4

도함수 $f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$ 구간에서 $f (x) = 3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

단계 5

$(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π}{2} + π n - 1$ 을 대입합니다.

$f' (\frac{π}{2} + π n - 1) = - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

단계 5.2

최종 답은 $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ 입니다.

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

단계 5.3

간단히 합니다.

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

단계 5.4

$x = \frac{π}{2} + π n - 1$ 에서의 도함수는 $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ 에서 감소함

단계 6

$(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π}{2} + π n + 1$ 을 대입합니다.

$f' (\frac{π}{2} + π n + 1) = - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

단계 6.2

최종 답은 $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ 입니다.

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

단계 6.3

간단히 합니다.

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

단계 6.4

$x = \frac{π}{2} + π n + 1$ 에서의 도함수는 $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ 에서 감소함

단계 7

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

다음 구간에서 감소: $(- \infty, \frac{π}{2} + π n), (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

단계 8