미적분 예제

$f (x) = \cos^{2} (x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

단계 1.1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\cos (x))$

단계 1.1.1.3

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

단계 1.1.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$f' (x) = 2 \cos (x) (- \sin (x))$

단계 1.1.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x)$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 2 \cos (x) \sin (x)$ 입니다.

$- 2 \cos (x) \sin (x)$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 2 \cos (x) \sin (x) = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 2 \cos (x) \sin (x) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

단계 2.3

$\cos (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

$\cos (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\cos (x) = 0$

단계 2.3.2

$\cos (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.2.1

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (0)$

단계 2.3.2.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.2.1

$\arccos (0)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$x = \frac{π}{2}$

단계 2.3.2.3

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

단계 2.3.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 2.3.2.4.2

분수를 통분합니다.

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단계 2.3.2.4.2.1

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 2.3.2.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

단계 2.3.2.4.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.4.3.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 π - π}{2}$

단계 2.3.2.4.3.2

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{3 π}{2}$

단계 2.3.2.5

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 2.3.2.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 2.3.2.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 2.3.2.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 2.3.2.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 2.3.2.6

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

단계 2.4

$\sin (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$\sin (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\sin (x) = 0$

단계 2.4.2

$\sin (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.4.2.1

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (0)$

단계 2.4.2.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.2.1

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 2.4.2.3

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = π - 0$

단계 2.4.2.4

$π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$x = π$

단계 2.4.2.5

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 2.4.2.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 2.4.2.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 2.4.2.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 2.4.2.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 2.4.2.6

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 2 π n, π + 2 π n$

단계 2.5

$- 2 \cos (x) \sin (x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$

단계 2.6

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π n}{2}$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $\frac{π n}{2}$ 입니다.

$\frac{π n}{2}$

단계 4

도함수 $f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x)$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ 구간에서 $f (x) = \cos^{2} (x)$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

단계 5

$(- \infty, \frac{π n}{2})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π n}{2} - 1$ 을 대입합니다.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = - 2 \cos (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

단계 5.2

최종 답은 $- 2 \cos (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ 입니다.

$- 2 \cos (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

단계 5.3

간단히 합니다.

$- 2 \cos (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

단계 5.4

$x = \frac{π n}{2} - 1$ 에서의 도함수는 $- 2 \cos (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, \frac{π n}{2})$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, \frac{π n}{2})$ 에서 감소함

단계 6

$(\frac{π n}{2}, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π n}{2} + 1$ 을 대입합니다.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = - 2 \cos (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

단계 6.2

최종 답은 $- 2 \cos (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ 입니다.

$- 2 \cos (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

단계 6.3

간단히 합니다.

$- 2 \cos (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

단계 6.4

$x = \frac{π n}{2} + 1$ 에서의 도함수는 $- 2 \cos (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(\frac{π n}{2}, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(\frac{π n}{2}, \infty)$ 에서 감소함

단계 7

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

다음 구간에서 감소: $(- \infty, \frac{π n}{2}), (\frac{π n}{2}, \infty)$

단계 8