미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 x + 200}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 5 x + 200}$

단계 1.2

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 x + 200}$

단계 1.3

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 x + 200} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 200]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 200]}$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 x + 200]}$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $5 x + 200$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [200]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [200]}$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [5 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.4.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [200]}$

단계 3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [200]}$

단계 3.4.3

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 + \frac{d}{d x} [200]}$

단계 3.5

$200$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $200$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $200$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 + 0}$

단계 3.6

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5}$

단계 4

$e^{x}$ 함수가 $\infty$ 에 근접하기 때문에 양수 상수 $\frac{1}{5}$ 배 함수도 $\infty$ 에 근접합니다.

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단계 4.1

상수 배수 $\frac{1}{5}$ 이(가) 제거된 극한을 고려해야 합니다.

$lim_{x \to \infty} e^{x}$

단계 4.2

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\infty$