미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x - \frac{1}{4 x}}{3 x + \frac{1}{x}}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x - \frac{1}{4 x}}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

단계 1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x - lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x}}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

단계 1.2.1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{\infty - lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x}}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

단계 1.2.1.3

$\frac{1}{4}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{\infty - \frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

단계 1.2.2

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty - \frac{1}{4} \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

단계 1.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1

$- \frac{1}{4} \cdot 0$ 을 곱합니다.

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단계 1.2.3.1.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\infty + 0 (\frac{1}{4})}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

단계 1.2.3.1.2

$0$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{\infty + 0}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

단계 1.2.3.2

$\infty$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

단계 1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.3.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.3.1.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

단계 1.3.1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

단계 1.3.2

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{\infty + 0}$

단계 1.3.3

$\infty$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.3.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x - \frac{1}{4 x}}{3 x + \frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x - \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x - \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $6 x - \frac{1}{4 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

단계 3.3.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.4.1

$- \frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{4 x}$ 의 미분은 $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

단계 3.4.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

단계 3.4.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{1}{4} (- x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

단계 3.4.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + 1 (\frac{1}{4}) x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

단계 3.4.5

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{1}{4} x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

단계 3.4.6

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{- 2}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{x^{- 2}}{4}}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

단계 3.4.7

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{1}{4 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

단계 3.5

항을 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

단계 3.6

합의 법칙에 의해 $3 x + \frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

단계 3.7

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.7.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

단계 3.7.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

단계 3.7.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

단계 3.8

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.8.1

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

단계 3.8.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 - x^{- 2}}$

단계 3.9

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 - \frac{1}{x^{2}}}$

단계 3.10

항을 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{- \frac{1}{x^{2}} + 3}$

단계 4

항을 묶습니다.

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단계 4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $6$ 을 표현하기 위해 $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2}}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6 \cdot \frac{4 x^{2}}{4 x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}} + 3}$

단계 4.2

$6$ 와 $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2}}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + \frac{6 (4 x^{2})}{4 x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}} + 3}$

단계 4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1 + 6 (4 x^{2})}{4 x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}} + 3}$

단계 4.4

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1 + 6 (4 x^{2})}{4 x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2}}}$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1 + 6 (4 x^{2})}{4 x^{2}}}{\frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

단계 5

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1 + 6 (4 x^{2})}{4 x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

단계 5.2

$\frac{1}{4}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1 + 6 (4 x^{2})}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

단계 5.3

$4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1 + 24 x^{2}}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

단계 6

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $x^{2}$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} + \frac{24 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

단계 7

극한값을 계산합니다.

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단계 7.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} + \frac{24 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

단계 7.1.2

$24$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} + 24}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

단계 7.2

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} + 24}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

단계 7.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

단계 7.3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + 24}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

단계 7.4

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 24}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

단계 8

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x^{2}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + lim_{x \to \infty} 24}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

단계 9

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $24$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

단계 9.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

단계 10

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $x^{2}$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

단계 11

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

단계 11.1.2

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + 3}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

단계 11.2

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + 3}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

단계 11.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + 3}{1}}$

단계 11.3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{\frac{lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x^{2}} + 3}{lim_{x \to \infty} 1}}$

단계 11.4

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{\frac{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 3}{lim_{x \to \infty} 1}}$

단계 12

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x^{2}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{\frac{- 0 + lim_{x \to \infty} 3}{lim_{x \to \infty} 1}}$

단계 13

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $3$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{\frac{0 + 3}{lim_{x \to \infty} 1}}$

단계 13.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{\frac{0 + 3}{1}}$

단계 13.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.1

$0 + 24$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{1}{4} (0 + 24)}{\frac{0 + 3}{1}}$

단계 13.3.2

$0 + 3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{1}{4} (0 + 24)}{0 + 3}$

단계 13.3.3

$0 + 24$ 및 $0 + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.3.1

$\frac{1}{4} (0 + 24)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (\frac{1}{4} (0 + 8))}{0 + 3}$

단계 13.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.3.2.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (\frac{1}{4} (0 + 8))}{3 (0) + 3}$

단계 13.3.3.2.2

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (\frac{1}{4} (0 + 8))}{3 \cdot 0 + 3 \cdot 1}$

단계 13.3.3.2.3

$3 \cdot 0 + 3 \cdot 1$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (\frac{1}{4} (0 + 8))}{3 \cdot (0 + 1)}$

단계 13.3.3.2.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (\frac{1}{4} (0 + 8))}{3 \cdot (0 + 1)}$

단계 13.3.3.2.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{1}{4} (0 + 8)}{0 + 1}$

단계 13.3.4

$0$ 를 $8$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot 8}{0 + 1}$

단계 13.3.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot 8}{1}$

단계 13.3.6

$\frac{1}{4}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{8}{4}}{1}$

단계 13.3.7

$8$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{2}{1}$

단계 13.3.8

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2$