미적분 예제

$f (x) = 5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 \tan^{-1} (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \tan^{-1} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [5 \tan^{-1} (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 \tan^{-1} (x)$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (x)]$ 입니다.

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\tan^{-1} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

단계 1.1.2.2

$\tan^{-1} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 입니다.

$f' (x) = 5 (\frac{1}{1 + x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

단계 1.1.2.3

$5$ 와 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{3}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 3 \frac{d}{d x} x^{3}$

단계 1.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 3 (3 x^{2})$

단계 1.1.3.3

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 9 x^{2}$

단계 1.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 9 x^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 9 x^{2} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

단계 1.1.4.1.2

$- 9 x^{2}$ 와 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} + \frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

단계 1.1.4.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = \frac{5 - 9 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

단계 1.1.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$ 입니다.

$\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5 = 0$

단계 2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 9 x^{2} \cdot 1 - 9 x^{2} x^{2} + 5 = 0$

단계 2.3.1.2

$- 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 9 x^{2} - 9 x^{2} x^{2} + 5 = 0$

단계 2.3.1.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.3.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$- 9 x^{2} - 9 (x^{2} x^{2}) + 5 = 0$

단계 2.3.1.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 9 x^{2} - 9 x^{2 + 2} + 5 = 0$

단계 2.3.1.3.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- 9 x^{2} - 9 x^{4} + 5 = 0$

단계 2.3.2

방정식에 $u = x^{2}$ 를 대입합니다. 이렇게 하면 근의 공식을 쉽게 사용할 수 있습니다.

$- 9 u^{2} - 9 u + 5 = 0$

$u = x^{2}$

단계 2.3.3

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 2.3.4

이차함수의 근의 공식에 $a = - 9$ , $b = - 9$ , $c = 5$ 을 대입하여 $u$ 를 구합니다.

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot 5)}}{2 \cdot - 9}$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.1

$- 9$ 를 $2$ 승 합니다.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

단계 2.3.5.1.2

$- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.2.1

$- 4$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

단계 2.3.5.1.2.2

$36$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

단계 2.3.5.1.3

$81$ 를 $180$ 에 더합니다.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

단계 2.3.5.1.4

$261$ 을 $3^{2} \cdot 29$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.4.1

$261$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

단계 2.3.5.1.4.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

단계 2.3.5.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

단계 2.3.5.2

$2$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

단계 2.3.5.3

$\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ 을 간단히 합니다.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

단계 2.3.5.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

단계 2.3.6

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1.1

$- 9$ 를 $2$ 승 합니다.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

단계 2.3.6.1.2

$- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1.2.1

$- 4$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

단계 2.3.6.1.2.2

$36$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

단계 2.3.6.1.3

$81$ 를 $180$ 에 더합니다.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

단계 2.3.6.1.4

$261$ 을 $3^{2} \cdot 29$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1.4.1

$261$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

단계 2.3.6.1.4.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

단계 2.3.6.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

단계 2.3.6.2

$2$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

단계 2.3.6.3

$\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ 을 간단히 합니다.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

단계 2.3.6.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

단계 2.3.6.5

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$u = - \frac{3 + \sqrt{29}}{6}$

단계 2.3.7

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1.1

$- 9$ 를 $2$ 승 합니다.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

단계 2.3.7.1.2

$- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1.2.1

$- 4$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

단계 2.3.7.1.2.2

$36$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

단계 2.3.7.1.3

$81$ 를 $180$ 에 더합니다.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

단계 2.3.7.1.4

$261$ 을 $3^{2} \cdot 29$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1.4.1

$261$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

단계 2.3.7.1.4.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

단계 2.3.7.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

단계 2.3.7.2

$2$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

단계 2.3.7.3

$\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ 을 간단히 합니다.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

단계 2.3.7.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

단계 2.3.7.5

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$u = - \frac{3 - \sqrt{29}}{6}$

단계 2.3.8

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$u = - \frac{3 + \sqrt{29}}{6}, - \frac{3 - \sqrt{29}}{6}$

단계 2.3.9

풀어진 방정식에 $u = x^{2}$ 에 해당하는 값을 대입합니다.

$x^{2} = - 1.39752746$

${(x^{2})}^{1} = 0.39752746$

단계 2.3.10

첫 번째 방정식을 $x$ 에 대해 풉니다.

$x^{2} = - 1.39752746$

단계 2.3.11

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1.39752746}$

단계 2.3.11.2

$\pm \sqrt{- 1.39752746}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.11.2.1

$- 1.39752746$ 을 $- 1 (1.39752746)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (1.39752746)}$

단계 2.3.11.2.2

$\sqrt{- 1 (1.39752746)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.39752746}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.39752746}$

단계 2.3.11.2.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \sqrt{1.39752746}$

단계 2.3.11.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.11.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i \sqrt{1.39752746}$

단계 2.3.11.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i \sqrt{1.39752746}$

단계 2.3.11.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}$

단계 2.3.12

두 번째 방정식을 $x$ 에 대해 풉니다.

${(x^{2})}^{1} = 0.39752746$

단계 2.3.13

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.13.1

괄호를 제거합니다.

$x^{2} = 0.39752746$

단계 2.3.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0.39752746}$

단계 2.3.13.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.13.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{0.39752746}$

단계 2.3.13.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{0.39752746}$

단계 2.3.13.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$

단계 2.3.14

$- 9 x^{4} - 9 x^{2} + 5 = 0$ 의 해는 $x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}, \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$ 입니다.

$x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}, \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = \sqrt{0.39752746}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $\sqrt{0.39752746}$ 를 대입합니다.

$5 \tan^{-1} (\sqrt{0.39752746}) - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$\tan^{-1} (\sqrt{0.39752746})$ 의 값을 구합니다.

$5 \cdot 0.56254301 - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

단계 4.1.2.1.2

$5$ 에 $0.56254301$ 을 곱합니다.

$2.81271509 - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

단계 4.1.2.1.3

${\sqrt{0.39752746}}^{3}$ 을 $\sqrt{{0.39752746}^{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$2.81271509 - 3 \sqrt{{0.39752746}^{3}}$

단계 4.1.2.1.4

$0.39752746$ 를 $3$ 승 합니다.

$2.81271509 - 3 \sqrt{0.0628205}$

단계 4.1.2.2

$2.81271509$ 에서 $3 \sqrt{0.0628205}$ 을 뺍니다.

$2.06079452$

단계 4.2

$x = - \sqrt{0.39752746}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $- \sqrt{0.39752746}$ 를 대입합니다.

$5 \tan^{-1} (- \sqrt{0.39752746}) - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$\tan^{-1} (- \sqrt{0.39752746})$ 의 값을 구합니다.

$5 \cdot - 0.56254301 - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

단계 4.2.2.1.2

$5$ 에 $- 0.56254301$ 을 곱합니다.

$- 2.81271509 - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

단계 4.2.2.1.3

$- \sqrt{0.39752746}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 2.81271509 - 3 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.39752746}}^{3})$

단계 4.2.2.1.4

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 2.81271509 - 3 (- {\sqrt{0.39752746}}^{3})$

단계 4.2.2.1.5

${\sqrt{0.39752746}}^{3}$ 을 $\sqrt{{0.39752746}^{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 2.81271509 - 3 (- \sqrt{{0.39752746}^{3}})$

단계 4.2.2.1.6

$0.39752746$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 2.81271509 - 3 (- \sqrt{0.0628205})$

단계 4.2.2.1.7

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- 2.81271509 + 3 \sqrt{0.0628205}$

단계 4.2.2.2

$- 2.81271509$ 를 $3 \sqrt{0.0628205}$ 에 더합니다.

$- 2.06079452$

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(\sqrt{0.39752746}, 2.06079452), (- \sqrt{0.39752746}, - 2.06079452)$

단계 5