미적분 예제

$y = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

단계 1

$y = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

단계 2

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

단계 2.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x^{3}$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

단계 2.2.3

$3$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $16 x^{2}$ 의 미분은 $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 16 (2 x)$

단계 2.3.3

$2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x$

단계 3

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32 x)$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32 x)$

단계 3.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32 x)$

단계 3.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32 x)$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 24 x^{2}$ 의 미분은 $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (32 x)$

단계 3.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (32 x)$

단계 3.3.3

$2$ 에 $- 24$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} (32 x)$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [32 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$32$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $32 x$ 의 미분은 $32 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 32 \frac{d}{d x} (x)$

단계 3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 32 \cdot 1$

단계 3.4.3

$32$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 32$

단계 4

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x = 0$

단계 5

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x^{2})$

단계 5.1.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x^{2})$

단계 5.1.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x^{3}$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x^{2})$

단계 5.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x^{2})$

단계 5.1.2.3

$3$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x^{2})$

단계 5.1.3

$\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

$16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $16 x^{2}$ 의 미분은 $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 5.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 16 (2 x)$

단계 5.1.3.3

$2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x$

단계 5.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x$ 입니다.

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x$

단계 6

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x = 0$

단계 6.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$4 x^{3}$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$4 x (x^{2}) - 24 x^{2} + 32 x = 0$

단계 6.2.1.2

$- 24 x^{2}$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 6 x) + 32 x = 0$

단계 6.2.1.3

$32 x$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 6 x) + 4 x (8) = 0$

단계 6.2.1.4

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 6 x)$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$4 x (x^{2} - 6 x) + 4 x (8) = 0$

단계 6.2.1.5

$4 x (x^{2} - 6 x) + 4 x (8)$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$4 x (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

단계 6.2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 6 x + 8$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $8$ 이고 합은 $- 6$ 입니다.

$- 4, - 2$

단계 6.2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$4 x ((x - 4) (x - 2)) = 0$

단계 6.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$4 x (x - 4) (x - 2) = 0$

단계 6.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

단계 6.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 6.5

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 6.5.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 6.6

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 6.6.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 6.7

$4 x (x - 4) (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 4, 2$

단계 7

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 8

계산할 임계점.

$x = 0, 4, 2$

단계 9

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$12 {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 + 32$

단계 10

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$12 \cdot 0 - 48 \cdot 0 + 32$

단계 10.1.2

$12$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - 48 \cdot 0 + 32$

단계 10.1.3

$- 48$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 32$

단계 10.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + 32$

단계 10.2.2

$0$ 를 $32$ 에 더합니다.

$32$

단계 11

이계도함수가 양수이므로 $x = 0$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0$ 은 극소값입니다.

단계 12

$x = 0$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2}$

단계 12.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 - 8 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2}$

단계 12.2.1.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 - 8 \cdot 0 + 16 {(0)}^{2}$

단계 12.2.1.3

$- 8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0 + 16 {(0)}^{2}$

단계 12.2.1.4

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 + 0 + 16 \cdot 0$

단계 12.2.1.5

$16$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0 + 0$

단계 12.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0 + 0$

단계 12.2.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0$

단계 12.2.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$y = 0$

단계 13

$x = 4$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$12 {(4)}^{2} - 48 \cdot 4 + 32$

단계 14

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$12 \cdot 16 - 48 \cdot 4 + 32$

단계 14.1.2

$12$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$192 - 48 \cdot 4 + 32$

단계 14.1.3

$- 48$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$192 - 192 + 32$

단계 14.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

$192$ 에서 $192$ 을 뺍니다.

$0 + 32$

단계 14.2.2

$0$ 를 $32$ 에 더합니다.

$32$

단계 15

이계도함수가 양수이므로 $x = 4$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 4$ 은 극소값입니다.

단계 16

$x = 4$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f (4) = {(4)}^{4} - 8 {(4)}^{3} + 16 {(4)}^{2}$

단계 16.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1.1

$4$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (4) = 256 - 8 {(4)}^{3} + 16 {(4)}^{2}$

단계 16.2.1.2

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (4) = 256 - 8 \cdot 64 + 16 {(4)}^{2}$

단계 16.2.1.3

$- 8$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$f (4) = 256 - 512 + 16 {(4)}^{2}$

단계 16.2.1.4

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (4) = 256 - 512 + 16 \cdot 16$

단계 16.2.1.5

$16$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f (4) = 256 - 512 + 256$

단계 16.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.2.1

$256$ 에서 $512$ 을 뺍니다.

$f (4) = - 256 + 256$

단계 16.2.2.2

$- 256$ 를 $256$ 에 더합니다.

$f (4) = 0$

단계 16.2.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$y = 0$

단계 17

$x = 2$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$12 {(2)}^{2} - 48 \cdot 2 + 32$

단계 18

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$12 \cdot 4 - 48 \cdot 2 + 32$

단계 18.1.2

$12$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$48 - 48 \cdot 2 + 32$

단계 18.1.3

$- 48$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$48 - 96 + 32$

단계 18.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.1

$48$ 에서 $96$ 을 뺍니다.

$- 48 + 32$

단계 18.2.2

$- 48$ 를 $32$ 에 더합니다.

$- 16$

단계 19

이계도함수가 음수이므로 $x = 2$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 2$ 은 극대값입니다

단계 20

$x = 2$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f (2) = {(2)}^{4} - 8 {(2)}^{3} + 16 {(2)}^{2}$

단계 20.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.2.1.1

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (2) = 16 - 8 {(2)}^{3} + 16 {(2)}^{2}$

단계 20.2.1.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (2) = 16 - 8 \cdot 8 + 16 {(2)}^{2}$

단계 20.2.1.3

$- 8$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f (2) = 16 - 64 + 16 {(2)}^{2}$

단계 20.2.1.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (2) = 16 - 64 + 16 \cdot 4$

단계 20.2.1.5

$16$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (2) = 16 - 64 + 64$

단계 20.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.2.2.1

$16$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$f (2) = - 48 + 64$

단계 20.2.2.2

$- 48$ 를 $64$ 에 더합니다.

$f (2) = 16$

단계 20.2.3

최종 답은 $16$ 입니다.

$y = 16$

단계 21

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ 에 대한 극값입니다.

$(0, 0)$ 은 극솟값임

$(4, 0)$ 은 극솟값임

$(2, 16)$ 은 극댓값임

단계 22