미적분 예제

$r^{2} = a^{2} \cos (2 θ)$

단계 1

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$a^{2} \cos (2 θ)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

배각 공식을 사용하여 $\cos (2 x)$ 를 $2 \cos^{2} (x) - 1$ 로 바꿉니다.

$r^{2} = a^{2} (2 \cos^{2} (θ) - 1)$

단계 1.1.2

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$r^{2} = a^{2} (2 \cos^{2} (θ)) + a^{2} \cdot - 1$

단계 1.1.2.2

다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$r^{2} = 2 a^{2} \cos^{2} (θ) + a^{2} \cdot - 1$

단계 1.1.2.2.2

$a^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$r^{2} = 2 a^{2} \cos^{2} (θ) - 1 \cdot a^{2}$

단계 1.1.3

$- 1 a^{2}$ 을 $- a^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$r^{2} = 2 a^{2} \cos^{2} (θ) - a^{2}$

단계 2

$\cos (θ) = \frac{x}{r}$ 에서 $\cos (θ)$ 에 $\frac{x}{r}$ 를 대입합니다.

$r^{2} = 2 a^{2} {(\frac{x}{r})}^{2} - a^{2}$

단계 3

$r^{2} = x^{2} + y^{2}$ 에서 $r^{2}$ 에 $x^{2} + y^{2}$ 를, $r$ 에 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 를 대입합니다.

$x^{2} + y^{2} = 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - a^{2}$

단계 4

표준형으로 식을 씁니다.

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단계 4.1

모든 수식을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 4.1.1

방정식의 양변에서 $2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2}$ 를 뺍니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} = - a^{2}$

단계 4.1.2

방정식의 양변에 $a^{2}$ 를 더합니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

단계 4.2

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 에 $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 을 곱합니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.2

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.2.1

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 에 $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 을 곱합니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.2.2

$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.2.3

$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1}})}^{2} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}})}^{2} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.2.6

${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ 을 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.2.1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 을(를) ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.2.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.2.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1.2.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.2.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{1}})}^{2} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.2.6.5

간단히 합니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.3

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

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단계 4.2.1.3.1

$\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{{(x \sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.3.2

$x \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.4

${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ 을 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 을(를) ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.4.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.4.5

간단히 합니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.5

$x^{2} + y^{2}$ 및 ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1.5.1

$x^{2} (x^{2} + y^{2})$ 에서 $x^{2} + y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.5.2.1

${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ 에서 $x^{2} + y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.6

$- 2 a^{2} \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.1.6.1

$- 2$ 와 $\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ 을 묶습니다.

$x^{2} + y^{2} + a^{2} \frac{- 2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.6.2

$a^{2}$ 와 $\frac{- 2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ 을 묶습니다.

$x^{2} + y^{2} + \frac{a^{2} (- 2 x^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.7

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x^{2} + y^{2} + \frac{a^{2} \cdot - 2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.8

$a^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$x^{2} + y^{2} + \frac{- 2 \cdot a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.1.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{2} + y^{2} - \frac{2 a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $x^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ 을 곱합니다.

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2}) - 2 a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.4

$x^{2} (x^{2} + y^{2}) - 2 a^{2} x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.2.4.1

$- 2 a^{2} x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2}) + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.4.2

$x^{2} (x^{2} + y^{2}) + x^{2} (- 2 a^{2})$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.5

공통 분모를 가지는 분수로 $y^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{y^{2} (x^{2} + y^{2}) + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.7.2

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.7.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{2 + 2} + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.7.2.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.7.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.7.4.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.7.4.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{2 + 2} + x^{2} y^{2} + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.7.4.1.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.7.4.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{4} + x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.7.5

$y^{2} x^{2}$ 를 $x^{2} y^{2}$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.7.5.1

$y^{2}$ 와 $x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{y^{4} + x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.7.5.2

$x^{2} y^{2}$ 를 $x^{2} y^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

단계 4.2.8

공통 분모를 가지는 분수로 $a^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{a^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = 0$

단계 4.2.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2} + a^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = 0$

단계 4.2.10

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2} + a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 0$

단계 4.2.10.2

$- 2 x^{2} a^{2}$ 를 $a^{2} x^{2}$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.10.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 a^{2} x^{2} + a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 0$

단계 4.2.10.2.2

$- 2 a^{2} x^{2}$ 를 $a^{2} x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 0$

단계 5