미적분 예제

$\ln (x^{4} + 1)$

단계 1

$\ln (x^{4} + 1)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \ln (x^{4} + 1)$

단계 2

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{4} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{4} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

단계 2.1.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

단계 2.1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{4} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{4} + 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

단계 2.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{4} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{4} + 1} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.1.2.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{x^{4} + 1} (4 x^{3} + 0)$

단계 2.1.2.4

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.4.1

$4 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{4} + 1} (4 x^{3})$

단계 2.1.2.4.2

$4$ 와 $\frac{1}{x^{4} + 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{x^{4} + 1} x^{3}$

단계 2.1.2.4.3

$\frac{4}{x^{4} + 1}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$

단계 2.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$ 입니다.

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$

단계 3

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1} = 0$

단계 3.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$4 x^{3} = 0$

단계 3.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$4 x^{3} = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$4 x^{3} = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

단계 3.3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

단계 3.3.1.2.1.2

$x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{3} = \frac{0}{4}$

단계 3.3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.3.1

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$x^{3} = 0$

단계 3.3.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \sqrt[3]{0}$

단계 3.3.3

$\sqrt[3]{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

단계 3.3.3.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$x = 0$

단계 4

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $0$ 입니다.

$0$

단계 5

도함수 $f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 구간에서 $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 6

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{3}}{{(- 1)}^{4} + 1}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot - 1}{{(- 1)}^{4} + 1}$

단계 6.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot - 1}{1 + 1}$

단계 6.2.2.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot - 1}{2}$

단계 6.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = \frac{- 4}{2}$

단계 6.2.3.2

$- 4$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f' (- 1) = - 2$

단계 6.2.4

최종 답은 $- 2$ 입니다.

$- 2$

단계 6.3

$x = - 1$ 에서의 도함수는 $- 2$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 감소함

단계 7

$(0, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = \frac{4 {(1)}^{3}}{{(1)}^{4} + 1}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = \frac{4 \cdot 1}{1^{4} + 1}$

단계 7.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (1) = \frac{4 \cdot 1}{1 + 1}$

단계 7.2.2.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (1) = \frac{4 \cdot 1}{2}$

단계 7.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = \frac{4}{2}$

단계 7.2.3.2

$4$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f' (1) = 2$

단계 7.2.4

최종 답은 $2$ 입니다.

$2$

단계 7.3

$x = 1$ 에서의 도함수는 $2$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(0, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(0, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(0, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, 0)$

단계 9