미적분 예제

$- \cos^{2} (x)$

단계 1

$- \cos^{2} (x)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = - \cos^{2} (x)$

단계 2

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \cos^{2} (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 입니다.

$f' (x) = - \frac{d}{d x} \cos^{2} (x)$

단계 2.1.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

단계 2.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = - (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

단계 2.1.2.3

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

단계 2.1.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

단계 2.1.4

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$f' (x) = - 2 \cos (x) (- \sin (x))$

단계 2.1.5

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 \cos (x) \sin (x)$

단계 2.1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.6.1

$2 \cos (x)$ 와 $\sin (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \sin (x) (2 \cos (x))$

단계 2.1.6.2

$\sin (x)$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 2 \cdot (\sin (x) \cos (x))$

단계 2.1.6.3

사인 배각 공식을 적용합니다.

$f' (x) = \sin (2 x)$

단계 2.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\sin (2 x)$ 입니다.

$\sin (2 x)$

단계 3

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\sin (2 x) = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\sin (2 x) = 0$

단계 3.2

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$2 x = \arcsin (0)$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$2 x = 0$

단계 3.4

$2 x = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$2 x = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

단계 3.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

단계 3.4.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{2}$

단계 3.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 3.5

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$2 x = π - 0$

단계 3.6

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 x = π + 0$

단계 3.6.1.2

$π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x = π$

단계 3.6.2

$2 x = π$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1

$2 x = π$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

단계 3.6.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

단계 3.6.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{π}{2}$

단계 3.7

$\sin (2 x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 3.7.2

주기 공식에서 $b$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

단계 3.7.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $2$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$\frac{2 π}{2}$

단계 3.7.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 π}{2}$

단계 3.7.4.2

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 3.8

함수 $\sin (2 x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = π n, \frac{π}{2} + π n$

단계 3.9

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π n}{2}$

단계 4

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $\frac{π n}{2}$ 입니다.

$\frac{π n}{2}$

단계 5

도함수 $f' (x) = \sin (2 x)$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ 구간에서 $f (x) = - \cos^{2} (x)$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

단계 6

$(- \infty, \frac{π n}{2})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π n}{2} - 1$ 을 대입합니다.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2} - 1))$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

단계 6.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

단계 6.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (π n + 2 \cdot - 1)$

단계 6.2.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (π n - 2)$

단계 6.2.4

최종 답은 $\sin (π n - 2)$ 입니다.

$\sin (π n - 2)$

단계 6.3

$x = \frac{π n}{2} - 1$ 에서의 도함수는 $\sin (π n - 2)$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, \frac{π n}{2})$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, \frac{π n}{2})$ 에서 감소함

단계 7

$(\frac{π n}{2}, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π n}{2} + 1$ 을 대입합니다.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2} + 1))$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

단계 7.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

단계 7.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (π n + 2 \cdot 1)$

단계 7.2.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (π n + 2)$

단계 7.2.4

최종 답은 $\sin (π n + 2)$ 입니다.

$\sin (π n + 2)$

단계 7.3

$x = \frac{π n}{2} + 1$ 에서의 도함수는 $\sin (π n + 2)$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(\frac{π n}{2}, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(\frac{π n}{2}, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(\frac{π n}{2}, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, \frac{π n}{2})$

단계 9