미적분 예제

$y = 6 x - 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ ; $x = 1$

단계 1

합의 법칙에 의해 $6 x - 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

단계 2.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ 입니다.

$6 - 12 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 4 x^{2} - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x^{2} - 3$ 로 바꿉니다.

$6 - 12 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

단계 3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 - 12 (2 u \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $4 x^{2} - 3$ 로 바꿉니다.

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $4 x^{2} - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

단계 3.4

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

단계 3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]))$

단계 3.6

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 (2 x) + 0))$

단계 3.7

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (8 x + 0))$

단계 3.8

$8 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (8 x))$

단계 3.9

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 - 12 (16 (4 x^{2} - 3) x)$

단계 3.10

$16$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$6 - 192 (4 x^{2} - 3) x$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$6 + (- 192 (4 x^{2}) - 192 \cdot - 3) x$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$6 - 192 (4 x^{2}) x - 192 \cdot - 3 x$

단계 4.3

항을 묶습니다.

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단계 4.3.1

$4$ 에 $- 192$ 을 곱합니다.

$6 - 768 x^{2} x - 192 \cdot - 3 x$

단계 4.3.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 - 768 (x^{1} x^{2}) - 192 \cdot - 3 x$

단계 4.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 - 768 x^{1 + 2} - 192 \cdot - 3 x$

단계 4.3.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$6 - 768 x^{3} - 192 \cdot - 3 x$

단계 4.3.5

$- 192$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$6 - 768 x^{3} + 576 x$

단계 4.4

항을 다시 정렬합니다.

$- 768 x^{3} + 576 x + 6$

단계 5

$x = 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$- 768 {(1)}^{3} + 576 (1) + 6$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 768 \cdot 1 + 576 (1) + 6$

단계 6.1.2

$- 768$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 768 + 576 (1) + 6$

단계 6.1.3

$576$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 768 + 576 + 6$

단계 6.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$- 768$ 를 $576$ 에 더합니다.

$- 192 + 6$

단계 6.2.2

$- 192$ 를 $6$ 에 더합니다.

$- 186$