미적분 예제

$f'' (x) = - 2 + 30 x - 12 x^{2}$

단계 1

함수 $f' (x)$ 는 도함수 $f'' (x)$ 의 부정적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - 2 d x + \int 30 x d x + \int - 12 x^{2} d x$

단계 3

상수 규칙을 적용합니다.

$- 2 x + C + \int 30 x d x + \int - 12 x^{2} d x$

단계 4

$30$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $30$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 x + C + 30 \int x d x + \int - 12 x^{2} d x$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$- 2 x + C + 30 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 12 x^{2} d x$

단계 6

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 12$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 x + C + 30 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 12 \int x^{2} d x$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$- 2 x + C + 30 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

단계 8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

간단히 합니다.

$- 2 x + 15 x^{2} - 12 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

단계 8.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$- 2 x + 15 x^{2} - 12 \frac{x^{3}}{3} + C$

단계 8.2.2

$- 12$ 와 $\frac{x^{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{- 12 x^{3}}{3} + C$

단계 8.2.3

$- 12$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1

$- 12 x^{3}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{3 (- 4 x^{3})}{3} + C$

단계 8.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{3 (- 4 x^{3})}{3 (1)} + C$

단계 8.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{3 (- 4 x^{3})}{3 \cdot 1} + C$

단계 8.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{- 4 x^{3}}{1} + C$

단계 8.2.3.2.4

$- 4 x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 2 x + 15 x^{2} - 4 x^{3} + C$

단계 9

$f'$ 가 함수의 도함수 적분에서 구한 함수인 경우, 미적분학의 기본 정리에 따라 유효합니다.

$f' (x) = - 2 x + 15 x^{2} - 4 x^{3} + C$

단계 10

함수 $f (x)$ 는 도함수 $f' (x)$ 의 부정적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$f (x) = \int f' (x) d x$

단계 11

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - 2 x d x + \int 15 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

단계 12

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 \int x d x + \int 15 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

단계 13

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 15 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

단계 14

$15$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $15$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 \int x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

단계 15

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

단계 16

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 \int x^{3} d x + \int C d x$

단계 17

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int C d x$

단계 18

상수 규칙을 적용합니다.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + C x + C$

단계 19

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + C x + C$

단계 19.1.2

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + C x + C$

단계 19.1.3

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) + C x + C$

단계 19.2

간단히 합니다.

$- x^{2} + 5 x^{3} - x^{4} + C x + C$

단계 20

$f$ 가 함수의 도함수 적분에서 구한 함수인 경우, 미적분학의 기본 정리에 따라 유효합니다.

$f (x) = - x^{2} + 5 x^{3} - x^{4} + C x + C$