미적분 예제

$f (x) = 16 - x^{2}$ ; $[- 1, 8]$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$16 - x^{2} = 0$

단계 1.2

$16 - x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 양변에서 $16$ 를 뺍니다.

$- x^{2} = - 16$

단계 1.2.2

$- x^{2} = - 16$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$- x^{2} = - 16$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

단계 1.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

단계 1.2.2.2.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

단계 1.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.3.1

$- 16$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 16$

단계 1.2.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{16}$

단계 1.2.4

$\pm \sqrt{16}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

단계 1.2.4.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 4$

단계 1.2.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 4$

단계 1.2.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 4$

단계 1.2.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 4, - 4$

단계 1.3

$x$ 에 $4$ 를 대입합니다.

$y = 0$

단계 1.4

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(4, 0)$

$(- 4, 0)$

$(4, 0)$

$(- 4, 0)$

단계 2

$16$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = - x^{2} + 16$

단계 3

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{- 1}^{4} - x^{2} + 16 d x - \int_{- 1}^{4} 0 d x$

단계 4

$- 1$ 과(와) $4$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{- 1}^{4} - x^{2} + 16 - (0) d x$

단계 4.2

$- x^{2} + 16$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$\int_{- 1}^{4} - x^{2} + 16 d x$

단계 4.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 1}^{4} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{4} 16 d x$

단계 4.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{- 1}^{4} x^{2} d x + \int_{- 1}^{4} 16 d x$

단계 4.5

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 16 d x$

단계 4.6

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 16 d x$

단계 4.7

상수 규칙을 적용합니다.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + 16 x]_{- 1}^{4}$

단계 4.8

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.1

$4$ , $- 1$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$- ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 16 x]_{- 1}^{4}$

단계 4.8.2

$4$ , $- 1$ 일 때, $16 x$ 값을 계산합니다.

$- (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 4 - 16 \cdot - 1$

단계 4.8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.3.1

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$- (\frac{64}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 4 - 16 \cdot - 1$

단계 4.8.3.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$- (\frac{64}{3} - \frac{- 1}{3}) + 16 \cdot 4 - 16 \cdot - 1$

단계 4.8.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- (\frac{64}{3} - - \frac{1}{3}) + 16 \cdot 4 - 16 \cdot - 1$

단계 4.8.3.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- (\frac{64}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 16 \cdot 4 - 16 \cdot - 1$

단계 4.8.3.5

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (\frac{64}{3} + \frac{1}{3}) + 16 \cdot 4 - 16 \cdot - 1$

단계 4.8.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{64 + 1}{3} + 16 \cdot 4 - 16 \cdot - 1$

단계 4.8.3.7

$64$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{65}{3} + 16 \cdot 4 - 16 \cdot - 1$

단계 4.8.3.8

$16$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{65}{3} + 64 - 16 \cdot - 1$

단계 4.8.3.9

$- 16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{65}{3} + 64 + 16$

단계 4.8.3.10

$64$ 를 $16$ 에 더합니다.

$- \frac{65}{3} + 80$

단계 4.8.3.11

공통 분모를 가지는 분수로 $80$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{65}{3} + 80 \cdot \frac{3}{3}$

단계 4.8.3.12

$80$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{65}{3} + \frac{80 \cdot 3}{3}$

단계 4.8.3.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 65 + 80 \cdot 3}{3}$

단계 4.8.3.14

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.3.14.1

$80$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 65 + 240}{3}$

단계 4.8.3.14.2

$- 65$ 를 $240$ 에 더합니다.

$\frac{175}{3}$

단계 5

$A r e a = \int_{4}^{8} 0 d x - \int_{4}^{8} - x^{2} + 16 d x$

단계 6

$4$ 과(와) $8$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{4}^{8} 0 - (- x^{2} + 16) d x$

단계 6.2

$0$ 에서 $- x^{2} + 16$ 을 뺍니다.

$\int_{4}^{8} - (- x^{2} + 16) d x$

단계 6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{4}^{8} x^{2} - 1 \cdot 16 d x$

단계 6.4

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\int_{4}^{8} x^{2} - 16 d x$

단계 6.5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{4}^{8} x^{2} d x + \int_{4}^{8} - 16 d x$

단계 6.6

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{4}^{8} + \int_{4}^{8} - 16 d x$

단계 6.7

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{4}^{8} + - 16 x]_{4}^{8}$

단계 6.8

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.1

$\frac{1}{3} x^{3}]_{4}^{8}$ 와 $- 16 x]_{4}^{8}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{3} - 16 x]_{4}^{8}$

단계 6.8.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.2.1

$8$ , $4$ 일 때, $\frac{1}{3} x^{3} - 16 x$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{3} \cdot 8^{3} - 16 \cdot 8) - (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - 16 \cdot 4)$

단계 6.8.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.2.2.1

$8$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 512 - 16 \cdot 8 - (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - 16 \cdot 4)$

단계 6.8.2.2.2

$\frac{1}{3}$ 와 $512$ 을 묶습니다.

$\frac{512}{3} - 16 \cdot 8 - (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - 16 \cdot 4)$

단계 6.8.2.2.3

$- 16$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{512}{3} - 128 - (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - 16 \cdot 4)$

단계 6.8.2.2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 128$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{512}{3} - 128 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - 16 \cdot 4)$

단계 6.8.2.2.5

$- 128$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{512}{3} + \frac{- 128 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - 16 \cdot 4)$

단계 6.8.2.2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{512 - 128 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - 16 \cdot 4)$

단계 6.8.2.2.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.2.2.7.1

$- 128$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{512 - 384}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - 16 \cdot 4)$

단계 6.8.2.2.7.2

$512$ 에서 $384$ 을 뺍니다.

$\frac{128}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - 16 \cdot 4)$

단계 6.8.2.2.8

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{128}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 64 - 16 \cdot 4)$

단계 6.8.2.2.9

$\frac{1}{3}$ 와 $64$ 을 묶습니다.

$\frac{128}{3} - (\frac{64}{3} - 16 \cdot 4)$

단계 6.8.2.2.10

$- 16$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{128}{3} - (\frac{64}{3} - 64)$

단계 6.8.2.2.11

공통 분모를 가지는 분수로 $- 64$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{128}{3} - (\frac{64}{3} - 64 \cdot \frac{3}{3})$

단계 6.8.2.2.12

$- 64$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{128}{3} - (\frac{64}{3} + \frac{- 64 \cdot 3}{3})$

단계 6.8.2.2.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{128}{3} - \frac{64 - 64 \cdot 3}{3}$

단계 6.8.2.2.14

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.2.2.14.1

$- 64$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{128}{3} - \frac{64 - 192}{3}$

단계 6.8.2.2.14.2

$64$ 에서 $192$ 을 뺍니다.

$\frac{128}{3} - \frac{- 128}{3}$

단계 6.8.2.2.15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{128}{3} - - \frac{128}{3}$

단계 6.8.2.2.16

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{128}{3} + 1 (\frac{128}{3})$

단계 6.8.2.2.17

$\frac{128}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{128}{3} + \frac{128}{3}$

단계 6.8.2.2.18

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{128 + 128}{3}$

단계 6.8.2.2.19

$128$ 를 $128$ 에 더합니다.

$\frac{256}{3}$

단계 7

$\frac{175}{3} + \frac{256}{3}$ 영역을 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{175 + 256}{3}$

단계 7.2

$175$ 를 $256$ 에 더합니다.

$\frac{431}{3}$

단계 8