미적분 예제

$f (x) = 2 e^{x} - 1$ ; $[- 2, 4]$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$2 e^{x} - 1 = 0$

단계 1.2

$2 e^{x} - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 e^{x} = 1$

단계 1.2.2

$2 e^{x} = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$2 e^{x} = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

단계 1.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

단계 1.2.2.2.1.2

$e^{x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{x} = \frac{1}{2}$

단계 1.2.3

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

단계 1.2.4

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{x})$ 을 전개합니다.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

단계 1.2.4.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

단계 1.2.4.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

단계 1.3

$x$ 에 $\ln (\frac{1}{2})$ 를 대입합니다.

$y = 0$

단계 1.4

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(\ln (\frac{1}{2}), 0)$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} 0 d x - \int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} 2 e^{x} - 1 d x$

단계 3

$- 2$ 과(와) $\ln (\frac{1}{2})$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} 0 - (2 e^{x} - 1) d x$

단계 3.2

$0$ 에서 $2 e^{x} - 1$ 을 뺍니다.

$\int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} - (2 e^{x} - 1) d x$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} - (2 e^{x}) + 1 d x$

단계 3.4

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 e^{x} - - 1$

단계 3.4.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 e^{x} + 1$

$\int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} - 2 e^{x} + 1 d x$

단계 3.5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} - 2 e^{x} d x + \int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} d x$

단계 3.6

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 \int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} e^{x} d x + \int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} d x$

단계 3.7

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$- 2 (e^{x}]_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})}) + \int_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})} d x$

단계 3.8

상수 규칙을 적용합니다.

$- 2 (e^{x}]_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})}) + x]_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})}$

단계 3.9

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1

$\ln (\frac{1}{2})$ , $- 2$ 일 때, $e^{x}$ 값을 계산합니다.

$- 2 ((e^{\ln (\frac{1}{2})}) - e^{- 2}) + x]_{- 2}^{\ln (\frac{1}{2})}$

단계 3.9.2

$\ln (\frac{1}{2})$ , $- 2$ 일 때, $x$ 값을 계산합니다.

$- 2 (e^{\ln (\frac{1}{2})} - e^{- 2}) + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

단계 3.9.3

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$- 2 (\frac{1}{2} - e^{- 2}) + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

단계 3.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{e^{2}}) + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

단계 3.10.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 (\frac{1}{2}) - 2 (- \frac{1}{e^{2}}) + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

단계 3.10.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.1.3.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 1) \frac{1}{2} - 2 (- \frac{1}{e^{2}}) + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

단계 3.10.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} - 2 (- \frac{1}{e^{2}}) + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

단계 3.10.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 - 2 (- \frac{1}{e^{2}}) + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

단계 3.10.1.4

$- 2 (- \frac{1}{e^{2}})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.1.4.1

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 1 + 2 \frac{1}{e^{2}} + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

단계 3.10.1.4.2

$2$ 와 $\frac{1}{e^{2}}$ 을 묶습니다.

$- 1 + \frac{2}{e^{2}} + \ln (\frac{1}{2}) + 2$

단계 3.10.2

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2}{e^{2}} + \ln (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4

$A r e a = \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} 2 e^{x} - 1 d x - \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} 0 d x$

단계 5

$\ln (\frac{1}{2})$ 과(와) $4$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\ln (\frac{1}{2})$ 과(와) $4$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} 0 - (2 e^{x} - 1) d x$

단계 5.1.2

$0$ 에서 $2 e^{x} - 1$ 을 뺍니다.

$\int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} - (2 e^{x} - 1) d x$

단계 5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} - (2 e^{x}) + 1 d x$

단계 5.1.4

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 e^{x} - - 1$

단계 5.1.4.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 e^{x} + 1$

$\int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} - 2 e^{x} + 1 d x$

단계 5.1.5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} - 2 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} d x$

단계 5.1.6

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} d x$

단계 5.1.7

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$- 2 (e^{x}]_{\ln (\frac{1}{2})}^{4}) + \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} d x$

단계 5.1.8

상수 규칙을 적용합니다.

$- 2 (e^{x}]_{\ln (\frac{1}{2})}^{4}) + x]_{\ln (\frac{1}{2})}^{4}$

단계 5.1.9

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.9.1

$4$ , $\ln (\frac{1}{2})$ 일 때, $e^{x}$ 값을 계산합니다.

$- 2 ((e^{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}) + x]_{\ln (\frac{1}{2})}^{4}$

단계 5.1.9.2

$4$ , $\ln (\frac{1}{2})$ 일 때, $x$ 값을 계산합니다.

$- 2 (e^{4} - e^{\ln (\frac{1}{2})}) + 4 - \ln (\frac{1}{2})$

단계 5.1.9.3

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$- 2 (e^{4} - \frac{1}{2}) + 4 - \ln (\frac{1}{2})$

단계 5.1.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.10.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.10.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 e^{4} - 2 (- \frac{1}{2}) + 4 - \ln (\frac{1}{2})$

단계 5.1.10.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.10.1.2.1

$- \frac{1}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 2 e^{4} - 2 (\frac{- 1}{2}) + 4 - \ln (\frac{1}{2})$

단계 5.1.10.1.2.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 2 e^{4} + 2 (- 1) \frac{- 1}{2} + 4 - \ln (\frac{1}{2})$

단계 5.1.10.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$- 2 e^{4} + 2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + 4 - \ln (\frac{1}{2})$

단계 5.1.10.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$- 2 e^{4} - - 1 + 4 - \ln (\frac{1}{2})$

단계 5.1.10.1.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 e^{4} + 1 + 4 - \ln (\frac{1}{2})$

단계 5.1.10.2

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$- 2 e^{4} + 5 - \ln (\frac{1}{2})$

단계 5.2

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} 2 e^{x} - 1 - (0) d x$

단계 5.3

$2 e^{x} - 1$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$\int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} 2 e^{x} - 1 d x$

단계 5.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} 2 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} - 1 d x$

단계 5.5

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} - 1 d x$

단계 5.6

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$2 (e^{x}]_{\ln (\frac{1}{2})}^{4}) + \int_{\ln (\frac{1}{2})}^{4} - 1 d x$

단계 5.7

상수 규칙을 적용합니다.

$2 (e^{x}]_{\ln (\frac{1}{2})}^{4}) + - x]_{\ln (\frac{1}{2})}^{4}$

단계 5.8

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.1

$4$ , $\ln (\frac{1}{2})$ 일 때, $e^{x}$ 값을 계산합니다.

$2 ((e^{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}) + - x]_{\ln (\frac{1}{2})}^{4}$

단계 5.8.2

$4$ , $\ln (\frac{1}{2})$ 일 때, $- x$ 값을 계산합니다.

$2 (e^{4} - e^{\ln (\frac{1}{2})}) + - 1 \cdot 4 + \ln (\frac{1}{2})$

단계 5.8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.3.1

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$2 (e^{4} - \frac{1}{2}) - 1 \cdot 4 + \ln (\frac{1}{2})$

단계 5.8.3.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$2 (e^{4} - \frac{1}{2}) - 4 + \ln (\frac{1}{2})$

단계 5.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 e^{4} + 2 (- \frac{1}{2}) - 4 + \ln (\frac{1}{2})$

단계 5.9.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.1.2.1

$- \frac{1}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$2 e^{4} + 2 (\frac{- 1}{2}) - 4 + \ln (\frac{1}{2})$

단계 5.9.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 e^{4} + 2 (\frac{- 1}{2}) - 4 + \ln (\frac{1}{2})$

단계 5.9.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 e^{4} - 1 - 4 + \ln (\frac{1}{2})$

단계 5.9.2

$- 1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$2 e^{4} - 5 + \ln (\frac{1}{2})$

단계 6

$\frac{2}{e^{2}} + \ln (\frac{1}{2}) + 1 + 2 e^{4} - 5 + \ln (\frac{1}{2})$ 영역을 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\frac{2}{e^{2}} + 1 + 2 e^{4} - 5 + \ln (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2})$

단계 6.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{e^{2}} + 1 + 2 e^{4} - 5 + \ln (\frac{1}{2 \cdot 2})$

단계 6.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{e^{2}} + 1 + 2 e^{4} - 5 + \ln (\frac{1}{4})$

단계 6.3

$1$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{e^{2}} + 2 e^{4} - 4 + \ln (\frac{1}{4})$

단계 7