미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ ; $[1, e^{3}]$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$

단계 1.2

$\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 양변에 $\frac{1}{e}$ 를 더합니다.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$

단계 1.2.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$x, e + y = 0$

단계 1.2.2.2

$x, e$ 이 숫자와 변수를 모두 포함하므로 두 단계에 걸쳐 최소공배수를 구합니다. 숫자 부분인 $1, 1$ 의 최소공배수를 구한 뒤 변수 부분 $x^{1}$ 의 최소공배수를 구합니다.

단계 1.2.2.3

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

$1$ 각 수의 소인수를 나열합니다.

단계 1.2.2.4

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 1.2.2.5

$1, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$1 + y = 0$

단계 1.2.2.6

$x^{1}$ 의 인수는 $x$ 자신입니다.

$x = x$

단계 1.2.2.7

$x^{1}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 소인수의 최대 개수 만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$x + y = 0$

단계 1.2.3

$\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ 의 각 항에 $x$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ 의 각 항에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

단계 1.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

단계 1.2.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$1 = \frac{1}{e} x$

단계 1.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.1

$\frac{1}{e}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$1 = \frac{x}{e}$

단계 1.2.4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$\frac{x}{e} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{x}{e} = 1$

단계 1.2.4.2

방정식의 양변에 $e$ 을 곱합니다.

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

단계 1.2.4.3

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.3.1.1

$e$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

단계 1.2.4.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$x = e \cdot 1$

단계 1.2.4.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.3.2.1

$e$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = e$

단계 1.3

$x$ 에 $e$ 를 대입합니다.

$y = 0$

단계 1.4

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(e, 0)$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x - \int_{1}^{e} 0 d x$

단계 3

$1$ 과(와) $e$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} - (0) d x$

단계 3.2

$\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

단계 3.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

단계 3.4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

단계 3.5

상수 규칙을 적용합니다.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

단계 3.6

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$\ln (| x |)]_{1}^{e}$ 와 $- \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$ 을 묶습니다.

$\ln (| x |) - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

단계 3.6.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1

$e$ , $1$ 일 때, $\ln (| x |) - \frac{1}{e} x$ 값을 계산합니다.

$(\ln (| e |) - \frac{1}{e} e) - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

단계 3.6.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.2.1

$e$ 와 $\frac{1}{e}$ 을 묶습니다.

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

단계 3.6.2.2.2

$e$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

단계 3.6.2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| e |) - 1 \cdot 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

단계 3.6.2.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

단계 3.6.2.2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

단계 3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1

$e$ 은 약 $2.71828182$ 로 양수이므로 절댓값 기호를 없앱니다.

$\ln (e) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

단계 3.7.1.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$1 - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

단계 3.7.1.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.3.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$1 - 1 - (\ln (1) - \frac{1}{e})$

단계 3.7.1.3.2

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$1 - 1 - (0 - \frac{1}{e})$

단계 3.7.1.4

$0$ 에서 $\frac{1}{e}$ 을 뺍니다.

$1 - 1 - - \frac{1}{e}$

단계 3.7.1.5

$- - \frac{1}{e}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 - 1 + 1 \frac{1}{e}$

단계 3.7.1.5.2

$\frac{1}{e}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 - 1 + \frac{1}{e}$

단계 3.7.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$0 + \frac{1}{e}$

단계 3.7.3

$0$ 를 $\frac{1}{e}$ 에 더합니다.

$\frac{1}{e}$

단계 4

$A r e a = \int_{e}^{e^{3}} 0 d x - \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

단계 5

$e$ 과(와) $e^{3}$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{e}^{e^{3}} 0 - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

단계 5.2

$0$ 에서 $\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ 을 뺍니다.

$\int_{e}^{e^{3}} - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

단계 5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{e} d x$

단계 5.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

단계 5.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

단계 5.6

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

단계 5.7

상수 규칙을 적용합니다.

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

단계 5.8

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.1

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.1.1

$e^{3}$ , $e$ 일 때, $\ln (| x |)$ 값을 계산합니다.

$- ((\ln (| e^{3} |)) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

단계 5.8.1.2

$e^{3}$ , $e$ 일 때, $\frac{1}{e} x$ 값을 계산합니다.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} e^{3} - \frac{1}{e} e$

단계 5.8.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.1.3.1

$\frac{1}{e}$ 와 $e^{3}$ 을 묶습니다.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{3}}{e} - \frac{1}{e} e$

단계 5.8.1.3.2

$e^{3}$ 및 $e$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.1.3.2.1

$e^{3}$ 에서 $e$ 를 인수분해합니다.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e} - \frac{1}{e} e$

단계 5.8.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.1.3.2.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

단계 5.8.1.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

단계 5.8.1.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{2}}{1} - \frac{1}{e} e$

단계 5.8.1.3.2.2.4

$e^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{1}{e} e$

단계 5.8.1.3.3

$e$ 와 $\frac{1}{e}$ 을 묶습니다.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

단계 5.8.1.3.4

$e$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.1.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

단계 5.8.1.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1 \cdot 1$

단계 5.8.1.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1$

단계 5.8.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$- \ln (\frac{| e^{3} |}{| e |}) + e^{2} - 1$

단계 5.8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.3.1

$e^{3}$ 은 약 $20.08553692$ 로 양수이므로 절댓값 기호를 없앱니다.

$- \ln (\frac{e^{3}}{| e |}) + e^{2} - 1$

단계 5.8.3.2

$e$ 은 약 $2.71828182$ 로 양수이므로 절댓값 기호를 없앱니다.

$- \ln (\frac{e^{3}}{e}) + e^{2} - 1$

단계 5.8.3.3

$e^{3}$ 및 $e$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.3.3.1

$e^{3}$ 에서 $e$ 를 인수분해합니다.

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e}) + e^{2} - 1$

단계 5.8.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.3.3.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

단계 5.8.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

단계 5.8.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \ln (\frac{e^{2}}{1}) + e^{2} - 1$

단계 5.8.3.3.2.4

$e^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \ln (e^{2}) + e^{2} - 1$

단계 5.8.3.4

로그 공식을 이용해 지수에서 $2$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$- (2 \ln (e)) + e^{2} - 1$

단계 5.8.3.5

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$- (2 \cdot 1) + e^{2} - 1$

단계 5.8.3.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 \cdot 2 + e^{2} - 1$

단계 5.8.3.7

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 + e^{2} - 1$

단계 5.8.3.8

$- 2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$e^{2} - 3$

단계 6