미적분 예제

$f (x) = 4 e^{x} - 3$ ; $[- 4, 3]$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$4 e^{x} - 3 = 0$

단계 1.2

$4 e^{x} - 3 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$4 e^{x} = 3$

단계 1.2.2

$4 e^{x} = 3$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$4 e^{x} = 3$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 e^{x}}{4} = \frac{3}{4}$

단계 1.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 e^{x}}{4} = \frac{3}{4}$

단계 1.2.2.2.1.2

$e^{x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{x} = \frac{3}{4}$

단계 1.2.3

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3}{4})$

단계 1.2.4

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{x})$ 을 전개합니다.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3}{4})$

단계 1.2.4.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3}{4})$

단계 1.2.4.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \ln (\frac{3}{4})$

단계 1.3

$x$ 에 $\ln (\frac{3}{4})$ 를 대입합니다.

$y = 0$

단계 1.4

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(\ln (\frac{3}{4}), 0)$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 0 d x - \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 4 e^{x} - 3 d x$

단계 3

$- 4$ 과(와) $\ln (\frac{3}{4})$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 0 - (4 e^{x} - 3) d x$

단계 3.2

$0$ 에서 $4 e^{x} - 3$ 을 뺍니다.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - (4 e^{x} - 3) d x$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - (4 e^{x}) + 3 d x$

단계 3.4

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 e^{x} - - 3$

단계 3.4.2

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- 4 e^{x} + 3$

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - 4 e^{x} + 3 d x$

단계 3.5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - 4 e^{x} d x + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

단계 3.6

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 4 \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} e^{x} d x + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

단계 3.7

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$- 4 (e^{x}]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}) + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

단계 3.8

상수 규칙을 적용합니다.

$- 4 (e^{x}]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 x]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}$

단계 3.9

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1

$\ln (\frac{3}{4})$ , $- 4$ 일 때, $e^{x}$ 값을 계산합니다.

$- 4 ((e^{\ln (\frac{3}{4})}) - e^{- 4}) + 3 x]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}$

단계 3.9.2

$\ln (\frac{3}{4})$ , $- 4$ 일 때, $3 x$ 값을 계산합니다.

$- 4 (e^{\ln (\frac{3}{4})} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) - 3 \cdot - 4$

단계 3.9.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.3.1

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$- 4 (\frac{3}{4} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) - 3 \cdot - 4$

단계 3.9.3.2

$- 3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 4 (\frac{3}{4} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

단계 3.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 4 (\frac{3}{4} - \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

단계 3.10.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 4 (\frac{3}{4}) - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

단계 3.10.1.3

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.1.3.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (- 1) \frac{3}{4} - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

단계 3.10.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$4 \cdot - 1 \frac{3}{4} - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

단계 3.10.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 \cdot 3 - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

단계 3.10.1.4

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

단계 3.10.1.5

$- 4 (- \frac{1}{e^{4}})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.1.5.1

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 3 + 4 \frac{1}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

단계 3.10.1.5.2

$4$ 와 $\frac{1}{e^{4}}$ 을 묶습니다.

$- 3 + \frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

단계 3.10.2

$- 3$ 를 $12$ 에 더합니다.

$\frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 9$

단계 4

$A r e a = \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 d x - \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 0 d x$

단계 5

$\ln (\frac{3}{4})$ 과(와) $3$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\ln (\frac{3}{4})$ 과(와) $3$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 0 - (4 e^{x} - 3) d x$

단계 5.1.2

$0$ 에서 $4 e^{x} - 3$ 을 뺍니다.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - (4 e^{x} - 3) d x$

단계 5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - (4 e^{x}) + 3 d x$

단계 5.1.4

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.4.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 e^{x} - - 3$

단계 5.1.4.2

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- 4 e^{x} + 3$

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 4 e^{x} + 3 d x$

단계 5.1.5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 4 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

단계 5.1.6

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 4 \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

단계 5.1.7

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$- 4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

단계 5.1.8

상수 규칙을 적용합니다.

$- 4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

단계 5.1.9

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.9.1

$3$ , $\ln (\frac{3}{4})$ 일 때, $e^{x}$ 값을 계산합니다.

$- 4 ((e^{3}) - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

단계 5.1.9.2

$3$ , $\ln (\frac{3}{4})$ 일 때, $3 x$ 값을 계산합니다.

$- 4 (e^{3} - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 \cdot 3 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

단계 5.1.9.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.9.3.1

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$- 4 (e^{3} - \frac{3}{4}) + 3 \cdot 3 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

단계 5.1.9.3.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 4 (e^{3} - \frac{3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

단계 5.1.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.10.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.10.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 4 e^{3} - 4 (- \frac{3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

단계 5.1.10.1.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.10.1.2.1

$- \frac{3}{4}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 4 e^{3} - 4 (\frac{- 3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

단계 5.1.10.1.2.2

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- 4 e^{3} + 4 (- 1) \frac{- 3}{4} + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

단계 5.1.10.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$- 4 e^{3} + 4 \cdot - 1 \frac{- 3}{4} + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

단계 5.1.10.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$- 4 e^{3} - - 3 + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

단계 5.1.10.1.3

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- 4 e^{3} + 3 + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

단계 5.1.10.2

$3$ 를 $9$ 에 더합니다.

$- 4 e^{3} + 12 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

단계 5.2

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 - (0) d x$

단계 5.3

$4 e^{x} - 3$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 d x$

단계 5.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

단계 5.5

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

단계 5.6

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

단계 5.7

상수 규칙을 적용합니다.

$4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + - 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

단계 5.8

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.1

$3$ , $\ln (\frac{3}{4})$ 일 때, $e^{x}$ 값을 계산합니다.

$4 ((e^{3}) - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + - 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

단계 5.8.2

$3$ , $\ln (\frac{3}{4})$ 일 때, $- 3 x$ 값을 계산합니다.

$4 (e^{3} - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + - 3 \cdot 3 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

단계 5.8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.3.1

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$4 (e^{3} - \frac{3}{4}) - 3 \cdot 3 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

단계 5.8.3.2

$- 3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$4 (e^{3} - \frac{3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

단계 5.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 e^{3} + 4 (- \frac{3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

단계 5.9.1.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.1.2.1

$- \frac{3}{4}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$4 e^{3} + 4 (\frac{- 3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

단계 5.9.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 e^{3} + 4 (\frac{- 3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

단계 5.9.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 e^{3} - 3 - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

단계 5.9.2

$- 3$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

단계 6

$\frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$ 영역을 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (\frac{3}{4})$ 을 간단히 합니다.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln ({(\frac{3}{4})}^{3}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

단계 6.1.2

$\frac{3}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{3^{3}}{4^{3}}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

단계 6.1.3

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{4^{3}}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

단계 6.1.4

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

단계 6.1.5

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (\frac{3}{4})$ 을 간단히 합니다.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln ({(\frac{3}{4})}^{3})$

단계 6.1.6

$\frac{3}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{3^{3}}{4^{3}})$

단계 6.1.7

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{4^{3}})$

단계 6.1.8

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{64})$

단계 6.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{64} \cdot \frac{27}{64})$

단계 6.3

$\frac{27}{64} \cdot \frac{27}{64}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$\frac{27}{64}$ 에 $\frac{27}{64}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27 \cdot 27}{64 \cdot 64})$

단계 6.3.2

$27$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{729}{64 \cdot 64})$

단계 6.3.3

$64$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{729}{4096})$

단계 6.4

$9$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$\frac{4}{e^{4}} + 4 e^{3} - 3 + \ln (\frac{729}{4096})$

단계 7