미적분 예제

$f (x) = \frac{6}{8 x - 1}$ , $[4, 8]$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$\frac{6}{8 x - 1} = 0$

단계 1.2

$\frac{6}{8 x - 1} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

분자가 0과 같게 만듭니다.

$6 = 0$

단계 1.2.2

$6 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} d x - \int_{4}^{8} 0 d x$

단계 3

$4$ 과(와) $8$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} - (0) d x$

단계 3.2

$\frac{6}{8 x - 1}$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$\int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} d x$

단계 3.3

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 \int_{4}^{8} \frac{1}{8 x - 1} d x$

단계 3.4

먼저 $u = 8 x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 8 d x$ 이므로 $\frac{1}{8} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$u = 8 x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

$8 x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [8 x - 1]$

단계 3.4.1.2

합의 법칙에 의해 $8 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3.4.1.3

$\frac{d}{d x} [8 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.3.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3.4.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3.4.1.3.3

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 3.4.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.4.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$8 + 0$

단계 3.4.1.4.2

$8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$8$

단계 3.4.2

$u = 8 x - 1$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 8 \cdot 4 - 1$

단계 3.4.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 32 - 1$

단계 3.4.3.2

$32$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = 31$

단계 3.4.4

$u = 8 x - 1$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 8 \cdot 8 - 1$

단계 3.4.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

$8$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 64 - 1$

단계 3.4.5.2

$64$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 63$

단계 3.4.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 31$

$u_{upper} = 63$

단계 3.4.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

단계 3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{8}$ 을 곱합니다.

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{u \cdot 8} d u$

단계 3.5.2

$u$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{8 u} d u$

단계 3.6

$\frac{1}{8}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{8}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 (\frac{1}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u)$

단계 3.7

간단히 합니다.

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단계 3.7.1

$\frac{1}{8}$ 와 $6$ 을 묶습니다.

$\frac{6}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

단계 3.7.2

$6$ 및 $8$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.7.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3)}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

단계 3.7.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.2.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

단계 3.7.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

단계 3.7.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

단계 3.8

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{3}{4} \ln (| u |)]_{31}^{63}$

단계 3.9

$63$ , $31$ 일 때, $\ln (| u |)$ 값을 계산합니다.

$\frac{3}{4} (\ln (| 63 |) - \ln (| 31 |))$

단계 3.10

간단히 합니다.

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단계 3.10.1

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\frac{3}{4} \ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})$

단계 3.10.2

$\frac{3}{4}$ 와 $\ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})$ 을 묶습니다.

$\frac{3 \ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})}{4}$

단계 3.11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $63$ 사이의 거리는 $63$ 입니다.

$\frac{3 \ln (\frac{63}{| 31 |})}{4}$

단계 3.11.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $31$ 사이의 거리는 $31$ 입니다.

$\frac{3 \ln (\frac{63}{31})}{4}$

단계 4

$\frac{3 \ln (\frac{63}{31})}{4}$ 영역을 더합니다.

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단계 4.1

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (\frac{63}{31})$ 을 간단히 합니다.

$\frac{\ln ({(\frac{63}{31})}^{3})}{4}$

단계 4.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$\frac{63}{31}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\ln (\frac{63^{3}}{31^{3}})}{4}$

단계 4.2.2

$63$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{\ln (\frac{250047}{31^{3}})}{4}$

단계 4.2.3

$31$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{\ln (\frac{250047}{29791})}{4}$

단계 4.3

$\frac{\ln (\frac{250047}{29791})}{4}$ 을 $\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$

단계 4.4

$\frac{1}{4}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$ 을 간단히 합니다.

$\ln ({(\frac{250047}{29791})}^{\frac{1}{4}})$

단계 4.5

$\frac{250047}{29791}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\ln (\frac{250047^{\frac{1}{4}}}{29791^{\frac{1}{4}}})$

단계 5