미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 8 x - 4$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 8 x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{3} x^{3}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

단계 1.1.2.3

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

단계 1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

단계 1.1.2.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

단계 1.1.2.5.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$\frac{3}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3}{2} x^{2}$ 의 미분은 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = x^{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x^{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

단계 1.1.3.3

$2$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

단계 1.1.3.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x^{2} + \frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

단계 1.1.3.5

$\frac{6}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f' (x) = x^{2} + \frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

단계 1.1.3.6

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.6.1

$6 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

단계 1.1.3.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.6.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

단계 1.1.3.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

단계 1.1.3.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = x^{2} + \frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

단계 1.1.3.6.2.4

$3 x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = x^{2} + 3 x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

단계 1.1.4

$\frac{d}{d x} [8 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.4.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

단계 1.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)$

단계 1.1.4.3

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 + \frac{d}{d x} (- 4)$

단계 1.1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 + 0$

단계 1.1.5.2

$x^{2} + 3 x + 8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $x^{2} + 3 x + 8$ 입니다.

$x^{2} + 3 x + 8$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $x^{2} + 3 x + 8 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$x^{2} + 3 x + 8 = 0$

단계 2.2

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 2.3

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 3$ , $c = 8$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 8$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.1.2.2

$- 4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.1.3

$9$ 에서 $32$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.1.4

$- 23$ 을 $- 1 (23)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2}$

단계 2.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 8$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.1.2.2

$- 4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.1.3

$9$ 에서 $32$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.1.4

$- 23$ 을 $- 1 (23)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

단계 2.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2}$

단계 2.5.3

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{23}}{2}$

단계 2.5.4

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{23}}{2}$

단계 2.5.5

$i \sqrt{23}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{23})}{2}$

단계 2.5.6

$- 1 (3) - (- i \sqrt{23})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{23})}{2}$

단계 2.5.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{2}$

단계 2.6

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 8$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.1.2.2

$- 4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.1.3

$9$ 에서 $32$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.1.4

$- 23$ 을 $- 1 (23)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

단계 2.6.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2}$

단계 2.6.3

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{23}}{2}$

단계 2.6.4

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{23}}{2}$

단계 2.6.5

$- i \sqrt{23}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{23})}{2}$

단계 2.6.6

$- 1 (3) - (i \sqrt{23})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{23})}{2}$

단계 2.6.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{23}}{2}$

단계 2.7

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{2}$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음