미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

단계 1

극한을 좌극한으로 설정합니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

단계 2

변수에 값을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $\frac{\ln (x)}{\cot (x)}$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\ln (0)}{\cot (0)}$

단계 2.2

$\cot (0)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}$

단계 2.3

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{0}}$

단계 2.4

$\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{0}}$ 이(가) 정의되지 않았으므로 극한이 없습니다.

$존재하지 않음$

단계 3

극한을 우극한으로 설정합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

단계 4

우극한 값을 계산합니다.

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단계 4.1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 4.1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

단계 4.1.1.2

$x$ 이(가) 오른쪽에서 $0$ 에 접근함에 따라 $\ln (x)$ 이(가) 무한히 감수합니다.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

단계 4.1.1.3

$x$ 값이 오른쪽에서 $0$ 에 근접함에 따라 함수 값이 무한히 증가합니다.

$\frac{- \infty}{\infty}$

단계 4.1.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{- \infty}{\infty}$

단계 4.1.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

단계 4.1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 4.1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

단계 4.1.3.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

단계 4.1.3.3

$\cot (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (x)$ 입니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \csc^{2} (x)}$

단계 4.1.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- \csc^{2} (x)}$

단계 4.1.5

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{1}{- \csc^{2} (x)}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (- \csc^{2} (x))}$

단계 4.1.6

$1$ 및 $- 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.6.1

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1 (- 1)}{x (- \csc^{2} (x))}$

단계 4.1.6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$

단계 4.2

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$

단계 4.3

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$- 0$

단계 4.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$

단계 5

단측 극한 중 하나가 존재하지 않으면 극한이 존재하지 않습니다.

$존재하지 않음$