미적분 예제

$\frac{π h^{2} (3 r - h)}{3}$

단계 1

$\frac{π}{3}$ 은 $h$ 에 대해 일정하므로 $h$ 에 대한 $\frac{π h^{2} (3 r - h)}{3}$ 의 미분은 $\frac{π}{3} \frac{d}{d h} [h^{2} (3 r - h)]$ 입니다.

$\frac{π}{3} \frac{d}{d h} [h^{2} (3 r - h)]$

단계 2

$f (h) = h^{2}$ , $g (h) = 3 r - h$ 일 때 $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ 는 $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{π}{3} (h^{2} \frac{d}{d h} [3 r - h] + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

단계 3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $3 r - h$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [3 r] + \frac{d}{d h} [- h]$ 가 됩니다.

$\frac{π}{3} (h^{2} (\frac{d}{d h} [3 r] + \frac{d}{d h} [- h]) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

단계 3.2

$3 r$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $3 r$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $3 r$ 입니다.

$\frac{π}{3} (h^{2} (0 + \frac{d}{d h} [- h]) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

단계 3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d h} [- h]$ 에 더합니다.

$\frac{π}{3} (h^{2} \frac{d}{d h} [- h] + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

단계 3.4

$- 1$ 은 $h$ 에 대해 일정하므로 $h$ 에 대한 $- h$ 의 미분은 $- \frac{d}{d h} [h]$ 입니다.

$\frac{π}{3} (h^{2} (- \frac{d}{d h} [h]) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{π}{3} (h^{2} (- 1 \cdot 1) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{π}{3} (h^{2} \cdot - 1 + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

단계 3.6.2

$h^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{π}{3} (- 1 \cdot h^{2} + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

단계 3.6.3

$- 1 h^{2}$ 을 $- h^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{π}{3} (- h^{2} + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

단계 3.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{π}{3} (- h^{2} + (3 r - h) (2 h))$

단계 3.8

$3 r - h$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{π}{3} (- h^{2} + 2 \cdot (3 r - h) h)$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{π}{3} (- h^{2} + (2 (3 r) + 2 (- h)) h)$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{π}{3} (- h^{2} + 2 (3 r) h + 2 (- h) h)$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{π}{3} (- h^{2}) + \frac{π}{3} (2 (3 r) h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

단계 4.4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$\frac{π}{3}$ 와 $h^{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{π}{3} (2 (3 r) h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

단계 4.4.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{π}{3} (6 r h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

단계 4.4.3

$6$ 와 $\frac{π}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{6 π}{3} (r h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

단계 4.4.4

$r$ 와 $\frac{6 π}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{r (6 π)}{3} h + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

단계 4.4.5

$\frac{r (6 π)}{3}$ 와 $h$ 을 묶습니다.

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{r (6 π) h}{3} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

단계 4.4.6

$r$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{6 \cdot r π h}{3} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

단계 4.4.7

$6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.7.1

$6 r π h$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{3 (2 r π h)}{3} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

단계 4.4.7.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.7.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{3 (2 r π h)}{3 (1)} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

단계 4.4.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{3 (2 r π h)}{3 \cdot 1} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

단계 4.4.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{2 r π h}{1} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

단계 4.4.7.2.4

$2 r π h$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

단계 4.4.8

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 h \cdot h)$

단계 4.4.9

$h$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 (h^{1} h))$

단계 4.4.10

$h$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 (h^{1} h^{1}))$

단계 4.4.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 h^{1 + 1})$

단계 4.4.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 h^{2})$

단계 4.4.13

$- 2$ 와 $\frac{π}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{- 2 π}{3} h^{2}$

단계 4.4.14

$\frac{- 2 π}{3}$ 와 $h^{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{- 2 π h^{2}}{3}$

단계 4.4.15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h - \frac{2 π h^{2}}{3}$

단계 4.4.16

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 r π h + \frac{- π h^{2} - 2 π h^{2}}{3}$

단계 4.4.17

$- π h^{2}$ 에서 $2 π h^{2}$ 을 뺍니다.

$2 r π h + \frac{- 3 π h^{2}}{3}$

단계 4.4.18

$- 3$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.18.1

$- 3 π h^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$2 r π h + \frac{3 (- π h^{2})}{3}$

단계 4.4.18.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.18.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$2 r π h + \frac{3 (- π h^{2})}{3 (1)}$

단계 4.4.18.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 r π h + \frac{3 (- π h^{2})}{3 \cdot 1}$

단계 4.4.18.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 r π h + \frac{- π h^{2}}{1}$

단계 4.4.18.2.4

$- π h^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 r π h - π h^{2}$

단계 4.5

항을 다시 정렬합니다.

$2 π h r - π h^{2}$