미적분 예제

$f (t) = t + \cos (t)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $t + \cos (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

단계 1.1.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

단계 1.1.2

$\cos (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- \sin (t)$ 입니다.

$f' (t) = 1 - \sin (t)$

단계 1.2

$f (t)$ 의 $t$ 에 대한 1차 도함수는 $1 - \sin (t)$ 입니다.

$1 - \sin (t)$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $1 - \sin (t) = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$1 - \sin (t) = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- \sin (t) = - 1$

단계 2.3

$- \sin (t) = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

$- \sin (t) = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \sin (t)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\sin (t)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 2.3.2.2

$\sin (t)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (t) = \frac{- 1}{- 1}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.3.1

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\sin (t) = 1$

단계 2.4

사인 안의 $t$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$t = \arcsin (1)$

단계 2.5

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$\arcsin (1)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$t = \frac{π}{2}$

단계 2.6

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$t = π - \frac{π}{2}$

단계 2.7

$π - \frac{π}{2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.7.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$t = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 2.7.2

분수를 통분합니다.

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단계 2.7.2.1

$π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$t = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 2.7.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$t = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

단계 2.7.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.7.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$t = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

단계 2.7.3.2

$2 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$t = \frac{π}{2}$

단계 2.8

$\sin (t)$ 주기를 구합니다.

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단계 2.8.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 2.8.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 2.8.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 2.8.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 2.9

함수 $\sin (t)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $t = \frac{π}{2} + 2 π n$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $\frac{π}{2} + 2 π n$ 입니다.

$\frac{π}{2} + 2 π n$

단계 4

도함수 $f' (t) = 1 - \sin (t)$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ 구간에서 $f (t) = t + \cos (t)$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$

단계 5

$(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $t$ 에 $\frac{π}{2} + 2 π n - 1$ 을 대입합니다.

$f' (\frac{π}{2} + 2 π n - 1) = 1 - \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$

단계 5.2

최종 답은 $1 - \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$ 입니다.

$1 - \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$

단계 5.3

간단히 합니다.

$1 - \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$

단계 5.4

$t = \frac{π}{2} + 2 π n - 1$ 에서의 도함수는 $1 - \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (t) < 0$ 이므로 $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n)$ 에서 감소함

단계 6

$(\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $t$ 에 $\frac{π}{2} + 2 π n + 1$ 을 대입합니다.

$f' (\frac{π}{2} + 2 π n + 1) = 1 - \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$

단계 6.2

최종 답은 $1 - \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$ 입니다.

$1 - \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$

단계 6.3

간단히 합니다.

$1 - \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$

단계 6.4

$t = \frac{π}{2} + 2 π n + 1$ 에서의 도함수는 $1 - \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (t) < 0$ 이므로 $(\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ 에서 감소함

단계 7

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

다음 구간에서 감소: $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n), (\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$

단계 8