미적분 예제

$f (x) = \frac{3 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2}}{x^{4}}$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{3 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2}}{x^{4}} d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$3 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1.1

$3 x^{4}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2}) - x^{3} + 6 x^{2}}{x^{4}} d x$

단계 3.1.2

$- x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- x) + 6 x^{2}}{x^{4}} d x$

단계 3.1.3

$6 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- x) + x^{2} \cdot 6}{x^{4}} d x$

단계 3.1.4

$x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- x)$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2} - x) + x^{2} \cdot 6}{x^{4}} d x$

단계 3.1.5

$x^{2} (3 x^{2} - x) + x^{2} \cdot 6$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2} - x + 6)}{x^{4}} d x$

단계 3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1

$x^{4}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2} - x + 6)}{x^{2} x^{2}} d x$

단계 3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2} - x + 6)}{x^{2} x^{2}} d x$

단계 3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{3 x^{2} - x + 6}{x^{2}} d x$

단계 4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (3 x^{2} - x + 6) {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 4.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (3 x^{2} - x + 6) x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 4.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int (3 x^{2} - x + 6) x^{- 2} d x$

단계 5

$(3 x^{2} - x + 6) x^{- 2}$ 을 전개합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (3 x^{2} - x) x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int 3 x^{2} x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

단계 5.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 3 x^{2 - 2} - x \cdot x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

단계 5.4

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\int 3 x^{0} - x \cdot x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

단계 5.5

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\int 3 \cdot 1 - x \cdot x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

단계 5.6

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 3 - x \cdot x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

단계 5.7

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\int 3 - (x \cdot x^{- 2}) + 6 x^{- 2} d x$

단계 5.8

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 3 - (x^{1} x^{- 2}) + 6 x^{- 2} d x$

단계 5.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 3 - x^{1 - 2} + 6 x^{- 2} d x$

단계 5.10

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\int 3 - x^{- 1} + 6 x^{- 2} d x$

단계 5.11

$3$ 와 $- x^{- 1}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int - x^{- 1} + 3 + 6 x^{- 2} d x$

단계 5.12

$3$ 를 옮깁니다.

$\int - x^{- 1} + 6 x^{- 2} + 3 d x$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - x^{- 1} d x + \int 6 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

단계 7

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int x^{- 1} d x + \int 6 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

단계 8

$x^{- 1}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$- (\ln (| x |) + C) + \int 6 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

단계 9

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\ln (| x |) + C) + 6 \int x^{- 2} d x + \int 3 d x$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$- (\ln (| x |) + C) + 6 (- x^{- 1} + C) + \int 3 d x$

단계 11

상수 규칙을 적용합니다.

$- (\ln (| x |) + C) + 6 (- x^{- 1} + C) + 3 x + C$

단계 12

간단히 합니다.

$- \ln (| x |) - \frac{6}{x} + 3 x + C$

단계 13

답은 함수 $f (x) = \frac{3 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2}}{x^{4}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $- \ln (| x |) - \frac{6}{x} + 3 x + C$