미적분 예제

$y = x^{2} - 23$ , $y = 9 - 4 x$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$x^{2} - 23 = 9 - 4 x$

단계 1.2

$x^{2} - 23 = 9 - 4 x$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 양변에 $4 x$ 를 더합니다.

$x^{2} - 23 + 4 x = 9$

단계 1.2.2

방정식의 양변에서 $9$ 를 뺍니다.

$x^{2} - 23 + 4 x - 9 = 0$

단계 1.2.3

$- 23$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$x^{2} + 4 x - 32 = 0$

단계 1.2.4

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 4 x - 32$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 32$ 이고 합은 $4$ 입니다.

$- 4, 8 + y = 9 - 4 x$

단계 1.2.4.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 4) (x + 8) = 0$

단계 1.2.5

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0 + y = 9 - 4 x$

단계 1.2.6

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 1.2.6.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 1.2.7

$x + 8$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1

$x + 8$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 8 = 0$

단계 1.2.7.2

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$x = - 8$

단계 1.2.8

$(x - 4) (x + 8) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 4, - 8$

단계 1.3

$x = 4$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 에 $4$ 를 대입합니다.

$y = 9 - 4 \cdot 4$

단계 1.3.2

$y = 9 - 4 \cdot 4$ 에서 $x$ 에 $4$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 9 - 4 \cdot 4$

단계 1.3.2.2

$9 - 4 \cdot 4$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = 9 - 16$

단계 1.3.2.2.2

$9$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$y = - 7$

단계 1.4

$x = - 8$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x$ 에 $- 8$ 를 대입합니다.

$y = 9 - 4 \cdot - 8$

단계 1.4.2

$y = 9 - 4 \cdot - 8$ 에서 $x$ 에 $- 8$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 9 - 4 \cdot - 8$

단계 1.4.2.2

$9 - 4 \cdot - 8$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.2.1

$- 4$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$y = 9 + 32$

단계 1.4.2.2.2

$9$ 를 $32$ 에 더합니다.

$y = 41$

단계 1.5

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(4, - 7)$

$(- 8, 41)$

$(4, - 7)$

$(- 8, 41)$

단계 2

$9$ 와 $- 4 x$ 을 다시 정렬합니다.

$y = - 4 x + 9$

단계 3

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{- 8}^{4} - 4 x + 9 d x - \int_{- 8}^{4} x^{2} - 23 d x$

단계 4

$- 8$ 과(와) $4$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{- 8}^{4} - 4 x + 9 - (x^{2} - 23) d x$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 4 x + 9 - x^{2} - - 23$

단계 4.2.2

$- 1$ 에 $- 23$ 을 곱합니다.

$- 4 x + 9 - x^{2} + 23$

$\int_{- 8}^{4} - 4 x + 9 - x^{2} + 23 d x$

단계 4.3

$9$ 를 $23$ 에 더합니다.

$\int_{- 8}^{4} - 4 x - x^{2} + 32 d x$

단계 4.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 8}^{4} - 4 x d x + \int_{- 8}^{4} - x^{2} d x + \int_{- 8}^{4} 32 d x$

단계 4.5

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 4 \int_{- 8}^{4} x d x + \int_{- 8}^{4} - x^{2} d x + \int_{- 8}^{4} 32 d x$

단계 4.6

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 8}^{4}) + \int_{- 8}^{4} - x^{2} d x + \int_{- 8}^{4} 32 d x$

단계 4.7

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$- 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 8}^{4}) + \int_{- 8}^{4} - x^{2} d x + \int_{- 8}^{4} 32 d x$

단계 4.8

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 8}^{4}) - \int_{- 8}^{4} x^{2} d x + \int_{- 8}^{4} 32 d x$

단계 4.9

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$- 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 8}^{4}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 8}^{4}) + \int_{- 8}^{4} 32 d x$

단계 4.10

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$- 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 8}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 8}^{4}) + \int_{- 8}^{4} 32 d x$

단계 4.11

상수 규칙을 적용합니다.

$- 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 8}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 8}^{4}) + 32 x]_{- 8}^{4}$

단계 4.12

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.1

$4$ , $- 8$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$- 4 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 8)}^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 8}^{4}) + 32 x]_{- 8}^{4}$

단계 4.12.2

$4$ , $- 8$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$- 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 8)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + 32 x]_{- 8}^{4}$

단계 4.12.3

$4$ , $- 8$ 일 때, $32 x$ 값을 계산합니다.

$- 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 8)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 4 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 8)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.2

$16$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.2.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 8)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 8)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 8)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 4 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 8)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.2.2.4

$8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 4 (8 - \frac{{(- 8)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.3

$- 8$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 4 (8 - \frac{64}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.4

$64$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.4.1

$64$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 4 (8 - \frac{2 \cdot 32}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 4 (8 - \frac{2 \cdot 32}{2 (1)}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 4 (8 - \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 4 (8 - \frac{32}{1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.4.2.4

$32$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 4 (8 - 1 \cdot 32) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.5

$- 1$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$- 4 (8 - 32) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.6

$8$ 에서 $32$ 을 뺍니다.

$- 4 \cdot - 24 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.7

$- 4$ 에 $- 24$ 을 곱합니다.

$96 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.8

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$96 - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 8)}^{3}}{3}) + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.9

$- 8$ 를 $3$ 승 합니다.

$96 - (\frac{64}{3} - \frac{- 512}{3}) + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$96 - (\frac{64}{3} - - \frac{512}{3}) + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.11

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$96 - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{512}{3})) + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.12

$\frac{512}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$96 - (\frac{64}{3} + \frac{512}{3}) + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$96 - \frac{64 + 512}{3} + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.14

$64$ 를 $512$ 에 더합니다.

$96 - \frac{576}{3} + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.15

$576$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.15.1

$576$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$96 - \frac{3 \cdot 192}{3} + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.15.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.15.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$96 - \frac{3 \cdot 192}{3 (1)} + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.15.2.2

공약수로 약분합니다.

$96 - \frac{3 \cdot 192}{3 \cdot 1} + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.15.2.3

수식을 다시 씁니다.

$96 - \frac{192}{1} + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.15.2.4

$192$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$96 - 1 \cdot 192 + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.16

$- 1$ 에 $192$ 을 곱합니다.

$96 - 192 + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.17

$96$ 에서 $192$ 을 뺍니다.

$- 96 + (32 \cdot 4) - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.18

$32$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 96 + 128 - 32 \cdot - 8$

단계 4.12.4.19

$- 32$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$- 96 + 128 + 256$

단계 4.12.4.20

$128$ 를 $256$ 에 더합니다.

$- 96 + 384$

단계 4.12.4.21

$- 96$ 를 $384$ 에 더합니다.

$288$

단계 5