미적분 예제

$x e^{y} + y e^{x} = 3$ , $(0, 3)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 0$ , $y = 3$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x e^{y} + y e^{x}) = \frac{d}{d x} (3)$

단계 1.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x e^{y} + y e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{y}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

단계 1.2.2.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

단계 1.2.2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

단계 1.2.2.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

단계 1.2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

단계 1.2.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

단계 1.2.2.5

$e^{y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x e^{y} y' + e^{y} + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

단계 1.2.3

$\frac{d}{d x} [y e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.3.1

$f (x) = y$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{y} y' + e^{y} + y \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [y]$

단계 1.2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{y} y' + e^{y} + y e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [y]$

단계 1.2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x e^{y} y' + e^{y} + y e^{x} + e^{x} y'$

단계 1.2.4

간단히 합니다.

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단계 1.2.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$e^{y} x y' + e^{x} y + e^{x} y' + e^{y}$

단계 1.2.4.2

$e^{y} x y' + e^{x} y + e^{x} y' + e^{y}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y}$

단계 1.3

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$0$

단계 1.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y} = 0$

단계 1.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.5.1

$x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x y' e^{y} + y e^{x} + y' e^{x} + e^{y} = 0$

단계 1.5.2

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 1.5.2.1

방정식의 양변에서 $y e^{x}$ 를 뺍니다.

$x y' e^{y} + y' e^{x} + e^{y} = - y e^{x}$

단계 1.5.2.2

방정식의 양변에서 $e^{y}$ 를 뺍니다.

$x y' e^{y} + y' e^{x} = - y e^{x} - e^{y}$

단계 1.5.3

$x y' e^{y} + y' e^{x}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.5.3.1

$x y' e^{y}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x e^{y}) + y' (e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

단계 1.5.3.2

$y' e^{x}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x e^{y}) + y' (e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

단계 1.5.3.3

$y' (x e^{y}) + y' (e^{x})$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

단계 1.5.4

$y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$ 의 각 항을 $x e^{y} + e^{x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.5.4.1

$y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$ 의 각 항을 $x e^{y} + e^{x}$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (x e^{y} + e^{x})}{x e^{y} + e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

단계 1.5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.5.4.2.1

$x e^{y} + e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x e^{y} + e^{x})}{x e^{y} + e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

단계 1.5.4.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

단계 1.5.4.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.5.4.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- y e^{x} - e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

단계 1.5.4.3.2

$- y e^{x}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (y e^{x}) - e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

단계 1.5.4.3.3

$- e^{y}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (y e^{x}) - (e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

단계 1.5.4.3.4

$- (y e^{x}) - (e^{y})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (y e^{x} + e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

단계 1.5.4.3.5

식을 간단히 합니다.

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단계 1.5.4.3.5.1

$- (y e^{x} + e^{y})$ 을 $- 1 (y e^{x} + e^{y})$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{- 1 (y e^{x} + e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

단계 1.5.4.3.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y e^{x} + e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

단계 1.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y e^{x} + e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

단계 1.7

$y = 3$ 와 $x = 0$ 값을 구합니다.

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단계 1.7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$- \frac{y e^{0} + e^{y}}{(0) \cdot e^{y} + e^{0}}$

단계 1.7.2

수식에서 변수 $y$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$- \frac{(3) \cdot e^{0} + e^{3}}{(0) \cdot e^{3} + e^{0}}$

단계 1.7.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.7.3.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$- \frac{3 \cdot 1 + e^{3}}{0 \cdot e^{3} + e^{0}}$

단계 1.7.3.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3 + e^{3}}{0 \cdot e^{3} + e^{0}}$

단계 1.7.4

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.7.4.1

$0$ 에 $e^{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{3 + e^{3}}{0 + e^{0}}$

단계 1.7.4.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$- \frac{3 + e^{3}}{0 + 1}$

단계 1.7.4.3

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{3 + e^{3}}{1}$

단계 1.7.5

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

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단계 1.7.5.1

$3 + e^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (3 + e^{3})$

단계 1.7.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 1 \cdot 3 - e^{3}$

단계 1.7.5.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 - e^{3}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $- 3 - e^{3}$ 과 주어진 점 $(0, 3)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (3) = (- 3 - e^{3}) \cdot (x - (0))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 3 = (- 3 - e^{3}) \cdot (x + 0)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$(- 3 - e^{3}) \cdot (x + 0)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y - 3 = (- 3 - e^{3}) \cdot x$

단계 2.3.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 3 = - 3 x - e^{3} x$

단계 2.3.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$y = - 3 x - e^{3} x + 3$

단계 2.3.3

$y = m x + b$ 형태로 씁니다.

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단계 2.3.3.1

$e^{3}$ 를 옮깁니다.

$y = - 3 x - 1 x e^{3} + 3$

단계 2.3.3.2

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$y = - 3 x - x e^{3} + 3$

단계 2.3.3.3

$- 3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = x \cdot - 3 - x e^{3} + 3$

단계 2.3.3.4

$- x e^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = x \cdot - 3 + x (- e^{3}) + 3$

단계 2.3.3.5

$x \cdot - 3 + x (- e^{3})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = x \cdot (- 3 - e^{3}) + 3$

단계 2.3.3.6

$- 3 - e^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y = (- 3 - e^{3}) x + 3$

단계 3