미적분 예제

$e^{- x} \sin (x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

$f (x) = e^{- x}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = e^{- x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 1.1.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 1.1.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

단계 1.1.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

단계 1.1.3.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

단계 1.1.4

미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

단계 1.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

단계 1.1.4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.4.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

단계 1.1.4.3.2

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

단계 1.1.4.3.3

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})$

단계 1.1.4.3.4

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$ 입니다.

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x) = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x) = 0$

단계 2.2

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$ 을 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1.1

$e^{- x} \cos (x)$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x) = 0$

단계 2.2.1.2

$- e^{- x} \sin (x)$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{- x} \cos (x) + e^{- x} (- 1 \sin (x)) = 0$

단계 2.2.1.3

$e^{- x} \cos (x) + e^{- x} (- 1 \sin (x))$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{- x} (\cos (x) - 1 \sin (x)) = 0$

단계 2.2.2

$- 1 \sin (x)$ 을 $- \sin (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$e^{- x} = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

단계 2.4

$e^{- x}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$e^{- x}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{- x} = 0$

단계 2.4.2

$e^{- x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.4.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

단계 2.4.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 2.4.2.3

$e^{- x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 2.5

$\cos (x) - \sin (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

$\cos (x) - \sin (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

단계 2.5.2

$\cos (x) - \sin (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.5.2.1

방정식의 각 항을 $\cos (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 2.5.2.2

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 2.5.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 2.5.2.3

분수를 나눕니다.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 2.5.2.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 2.5.2.5

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 2.5.2.6

분수를 나눕니다.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

단계 2.5.2.7

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

단계 2.5.2.8

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

단계 2.5.2.9

$0$ 에 $\sec (x)$ 을 곱합니다.

$1 - \tan (x) = 0$

단계 2.5.2.10

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- \tan (x) = - 1$

단계 2.5.2.11

$- \tan (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.11.1

$- \tan (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 2.5.2.11.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.11.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 2.5.2.11.2.2

$\tan (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

단계 2.5.2.11.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.11.3.1

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\tan (x) = 1$

단계 2.5.2.12

탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$x = \arctan (1)$

단계 2.5.2.13

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.13.1

$\arctan (1)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{4}$ 입니다.

$x = \frac{π}{4}$

단계 2.5.2.14

탄젠트 함수는 제1사분면과 제3사분면에서 양의 값을 가집니다. 두번째 해를 구하려면 $π$ 에 기준각을 더하여 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = π + \frac{π}{4}$

단계 2.5.2.15

$π + \frac{π}{4}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.15.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

단계 2.5.2.15.2

분수를 통분합니다.

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단계 2.5.2.15.2.1

$π$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

단계 2.5.2.15.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

단계 2.5.2.15.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.15.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

단계 2.5.2.15.3.2

$4 π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$x = \frac{5 π}{4}$

단계 2.5.2.16

$\tan (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 2.5.2.16.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 2.5.2.16.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 1 |}$

단계 2.5.2.16.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{π}{1}$

단계 2.5.2.16.4

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 2.5.2.17

함수 $\tan (x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$

단계 2.6

$e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$

단계 2.7

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{4} + π n$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $e^{- x} \sin (x)$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = \frac{π}{4}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $\frac{π}{4}$ 를 대입합니다.

$e^{- (\frac{π}{4})} \sin (\frac{π}{4})$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1

$\sin (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$e^{- \frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 4.1.2.2

$e^{- \frac{π}{4}}$ 와 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{- \frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

단계 4.1.2.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $e^{- \frac{π}{4}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{π}{4}}}$

단계 4.2

$x = \frac{5 π}{4}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $\frac{5 π}{4}$ 를 대입합니다.

$e^{- (\frac{5 π}{4})} \sin (\frac{5 π}{4})$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제3사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$e^{- \frac{5 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

단계 4.2.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$e^{- \frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

단계 4.2.2.3

$e^{- \frac{5 π}{4}}$ 와 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{- \frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

단계 4.2.2.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $e^{- \frac{5 π}{4}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{5 π}{4}}}$

단계 4.3

$x = \frac{9 π}{4}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$x$ 에 $\frac{9 π}{4}$ 를 대입합니다.

$e^{- (\frac{9 π}{4})} \sin (\frac{9 π}{4})$

단계 4.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$e^{- \frac{9 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

단계 4.3.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$e^{- \frac{9 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 4.3.2.3

$e^{- \frac{9 π}{4}}$ 와 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{- \frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

단계 4.3.2.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $e^{- \frac{9 π}{4}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{9 π}{4}}}$

단계 4.4

$x = \frac{13 π}{4}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$x$ 에 $\frac{13 π}{4}$ 를 대입합니다.

$e^{- (\frac{13 π}{4})} \sin (\frac{13 π}{4})$

단계 4.4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$e^{- \frac{13 π}{4}} \sin (\frac{5 π}{4})$

단계 4.4.2.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제3사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$e^{- \frac{13 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

단계 4.4.2.3

$\sin (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$e^{- \frac{13 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

단계 4.4.2.4

$e^{- \frac{13 π}{4}}$ 와 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{- \frac{13 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

단계 4.4.2.5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $e^{- \frac{13 π}{4}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{13 π}{4}}}$

단계 4.5

$x = \frac{17 π}{4}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$x$ 에 $\frac{17 π}{4}$ 를 대입합니다.

$e^{- (\frac{17 π}{4})} \sin (\frac{17 π}{4})$

단계 4.5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$e^{- \frac{17 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

단계 4.5.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$e^{- \frac{17 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 4.5.2.3

$e^{- \frac{17 π}{4}}$ 와 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{- \frac{17 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

단계 4.5.2.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $e^{- \frac{17 π}{4}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{17 π}{4}}}$

단계 4.6

모든 점을 나열합니다.

$(\frac{π}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{π}{4}}}), (\frac{5 π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{5 π}{4}}}), (\frac{9 π}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{9 π}{4}}}), (\frac{13 π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{13 π}{4}}}), (\frac{17 π}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{17 π}{4}}})$

단계 5