미적분 예제

$f (x) = 2 x - 12$ ; $[5, 9]$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$2 x - 12 = 0$

단계 1.2

$2 x - 12 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 양변에 $12$ 를 더합니다.

$2 x = 12$

단계 1.2.2

$2 x = 12$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$2 x = 12$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{12}{2}$

단계 1.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{12}{2}$

단계 1.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{12}{2}$

단계 1.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.3.1

$12$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$x = 6$

단계 1.3

$x$ 에 $6$ 를 대입합니다.

$y = 0$

단계 1.4

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(6, 0)$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{5}^{6} 0 d x - \int_{5}^{6} 2 x - 12 d x$

단계 3

$5$ 과(와) $6$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{5}^{6} 0 - (2 x - 12) d x$

단계 3.2

$0$ 에서 $2 x - 12$ 을 뺍니다.

$\int_{5}^{6} - (2 x - 12) d x$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{5}^{6} - (2 x) + 12 d x$

단계 3.4

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 x - - 12$

단계 3.4.2

$- 1$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$- 2 x + 12$

$\int_{5}^{6} - 2 x + 12 d x$

단계 3.5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{5}^{6} - 2 x d x + \int_{5}^{6} 12 d x$

단계 3.6

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 \int_{5}^{6} x d x + \int_{5}^{6} 12 d x$

단계 3.7

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{6}) + \int_{5}^{6} 12 d x$

단계 3.8

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{5}^{6}) + \int_{5}^{6} 12 d x$

단계 3.9

상수 규칙을 적용합니다.

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{5}^{6}) + 12 x]_{5}^{6}$

단계 3.10

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.1

$6$ , $5$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$- 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{5^{2}}{2}) + 12 x]_{5}^{6}$

단계 3.10.2

$6$ , $5$ 일 때, $12 x$ 값을 계산합니다.

$- 2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{5^{2}}{2}) + 12 \cdot 6 - 12 \cdot 5$

단계 3.10.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.3.1

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 2 (\frac{36}{2} - \frac{5^{2}}{2}) + 12 \cdot 6 - 12 \cdot 5$

단계 3.10.3.2

$36$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.3.2.1

$36$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{5^{2}}{2}) + 12 \cdot 6 - 12 \cdot 5$

단계 3.10.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.3.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{5^{2}}{2}) + 12 \cdot 6 - 12 \cdot 5$

단계 3.10.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{5^{2}}{2}) + 12 \cdot 6 - 12 \cdot 5$

단계 3.10.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 2 (\frac{18}{1} - \frac{5^{2}}{2}) + 12 \cdot 6 - 12 \cdot 5$

단계 3.10.3.2.2.4

$18$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 2 (18 - \frac{5^{2}}{2}) + 12 \cdot 6 - 12 \cdot 5$

단계 3.10.3.3

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 2 (18 - \frac{25}{2}) + 12 \cdot 6 - 12 \cdot 5$

단계 3.10.3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $18$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- 2 (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}) + 12 \cdot 6 - 12 \cdot 5$

단계 3.10.3.5

$18$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- 2 (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}) + 12 \cdot 6 - 12 \cdot 5$

단계 3.10.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 2 \frac{18 \cdot 2 - 25}{2} + 12 \cdot 6 - 12 \cdot 5$

단계 3.10.3.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.3.7.1

$18$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{36 - 25}{2} + 12 \cdot 6 - 12 \cdot 5$

단계 3.10.3.7.2

$36$ 에서 $25$ 을 뺍니다.

$- 2 (\frac{11}{2}) + 12 \cdot 6 - 12 \cdot 5$

단계 3.10.3.8

$- 2$ 와 $\frac{11}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \cdot 11}{2} + 12 \cdot 6 - 12 \cdot 5$

단계 3.10.3.9

$- 2$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$\frac{- 22}{2} + 12 \cdot 6 - 12 \cdot 5$

단계 3.10.3.10

$- 22$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.3.10.1

$- 22$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 11}{2} + 12 \cdot 6 - 12 \cdot 5$

단계 3.10.3.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.3.10.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 11}{2 (1)} + 12 \cdot 6 - 12 \cdot 5$

단계 3.10.3.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 11}{2 \cdot 1} + 12 \cdot 6 - 12 \cdot 5$

단계 3.10.3.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 11}{1} + 12 \cdot 6 - 12 \cdot 5$

단계 3.10.3.10.2.4

$- 11$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 11 + 12 \cdot 6 - 12 \cdot 5$

단계 3.10.3.11

$12$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$- 11 + 72 - 12 \cdot 5$

단계 3.10.3.12

$- 12$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 11 + 72 - 60$

단계 3.10.3.13

$72$ 에서 $60$ 을 뺍니다.

$- 11 + 12$

단계 3.10.3.14

$- 11$ 를 $12$ 에 더합니다.

$1$

단계 4

$A r e a = \int_{6}^{9} 2 x - 12 d x - \int_{6}^{9} 0 d x$

단계 5

$6$ 과(와) $9$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{6}^{9} 2 x - 12 - (0) d x$

단계 5.2

$2 x - 12$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$\int_{6}^{9} 2 x - 12 d x$

단계 5.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{6}^{9} 2 x d x + \int_{6}^{9} - 12 d x$

단계 5.4

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{6}^{9} x d x + \int_{6}^{9} - 12 d x$

단계 5.5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{9}) + \int_{6}^{9} - 12 d x$

단계 5.6

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{6}^{9}) + \int_{6}^{9} - 12 d x$

단계 5.7

상수 규칙을 적용합니다.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{6}^{9}) + - 12 x]_{6}^{9}$

단계 5.8

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.1

$9$ , $6$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$2 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{6^{2}}{2}) + - 12 x]_{6}^{9}$

단계 5.8.2

$9$ , $6$ 일 때, $- 12 x$ 값을 계산합니다.

$2 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{6^{2}}{2}) + - 12 \cdot 9 + 12 \cdot 6$

단계 5.8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.3.1

$9$ 를 $2$ 승 합니다.

$2 (\frac{81}{2} - \frac{6^{2}}{2}) - 12 \cdot 9 + 12 \cdot 6$

단계 5.8.3.2

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$2 (\frac{81}{2} - \frac{36}{2}) - 12 \cdot 9 + 12 \cdot 6$

단계 5.8.3.3

$36$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.3.3.1

$36$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 18}{2}) - 12 \cdot 9 + 12 \cdot 6$

단계 5.8.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.3.3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 18}{2 (1)}) - 12 \cdot 9 + 12 \cdot 6$

단계 5.8.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1}) - 12 \cdot 9 + 12 \cdot 6$

단계 5.8.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 (\frac{81}{2} - \frac{18}{1}) - 12 \cdot 9 + 12 \cdot 6$

단계 5.8.3.3.2.4

$18$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 (\frac{81}{2} - 1 \cdot 18) - 12 \cdot 9 + 12 \cdot 6$

단계 5.8.3.4

$- 1$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{81}{2} - 18) - 12 \cdot 9 + 12 \cdot 6$

단계 5.8.3.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 18$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{81}{2} - 18 \cdot \frac{2}{2}) - 12 \cdot 9 + 12 \cdot 6$

단계 5.8.3.6

$- 18$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{81}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2}) - 12 \cdot 9 + 12 \cdot 6$

단계 5.8.3.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 \frac{81 - 18 \cdot 2}{2} - 12 \cdot 9 + 12 \cdot 6$

단계 5.8.3.8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.3.8.1

$- 18$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 \frac{81 - 36}{2} - 12 \cdot 9 + 12 \cdot 6$

단계 5.8.3.8.2

$81$ 에서 $36$ 을 뺍니다.

$2 (\frac{45}{2}) - 12 \cdot 9 + 12 \cdot 6$

단계 5.8.3.9

$2$ 와 $\frac{45}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 45}{2} - 12 \cdot 9 + 12 \cdot 6$

단계 5.8.3.10

$2$ 에 $45$ 을 곱합니다.

$\frac{90}{2} - 12 \cdot 9 + 12 \cdot 6$

단계 5.8.3.11

$90$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.3.11.1

$90$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 45}{2} - 12 \cdot 9 + 12 \cdot 6$

단계 5.8.3.11.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.3.11.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 45}{2 (1)} - 12 \cdot 9 + 12 \cdot 6$

단계 5.8.3.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 1} - 12 \cdot 9 + 12 \cdot 6$

단계 5.8.3.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{45}{1} - 12 \cdot 9 + 12 \cdot 6$

단계 5.8.3.11.2.4

$45$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$45 - 12 \cdot 9 + 12 \cdot 6$

단계 5.8.3.12

$- 12$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$45 - 108 + 12 \cdot 6$

단계 5.8.3.13

$12$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$45 - 108 + 72$

단계 5.8.3.14

$- 108$ 를 $72$ 에 더합니다.

$45 - 36$

단계 5.8.3.15

$45$ 에서 $36$ 을 뺍니다.

$9$

단계 6

$1$ 를 $9$ 에 더합니다.

$10$

단계 7