미적분 예제

$f'' (x) = 24 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x$

단계 1

함수 $f' (x)$ 는 도함수 $f'' (x)$ 의 부정적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 24 x^{3} d x + \int - 18 x^{2} d x + \int 8 x d x$

단계 3

$24$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $24$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$24 \int x^{3} d x + \int - 18 x^{2} d x + \int 8 x d x$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 18 x^{2} d x + \int 8 x d x$

단계 5

$- 18$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 18$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 \int x^{2} d x + \int 8 x d x$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 8 x d x$

단계 7

$8$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 8 \int x d x$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

간단히 합니다.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + 8 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

단계 9.2

간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + 8 \frac{x^{2}}{2} + C$

단계 9.2.2

$8$ 와 $\frac{x^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{2} + C$

단계 9.2.3

$8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.2.3.1

$8 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2} + C$

단계 9.2.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 9.2.3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2 (1)} + C$

단계 9.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

단계 9.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{4 x^{2}}{1} + C$

단계 9.2.3.2.4

$4 x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + C$

단계 10

$f'$ 가 함수의 도함수 적분에서 구한 함수인 경우, 미적분학의 기본 정리에 따라 유효합니다.

$f' (x) = 6 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + C$

단계 11

함수 $f (x)$ 는 도함수 $f' (x)$ 의 부정적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$f (x) = \int f' (x) d x$

단계 12

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 6 x^{4} d x + \int - 6 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

단계 13

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 \int x^{4} d x + \int - 6 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

단계 14

멱의 법칙에 의해 $x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} x^{5}$ 가 됩니다.

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 6 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

단계 15

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 \int x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

단계 16

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

단계 17

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 \int x^{2} d x + \int C d x$

단계 18

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int C d x$

단계 19

상수 규칙을 적용합니다.

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

단계 20

간단히 합니다.

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단계 20.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.1.1

$\frac{1}{5}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

단계 20.1.2

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

단계 20.1.3

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + C x + C$

단계 20.2

간단히 합니다.

$\frac{6 x^{5}}{5} - \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{3} + C x + C$

단계 21

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{6}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{4} + \frac{4}{3} x^{3} + C x + C$

단계 22

$f$ 가 함수의 도함수 적분에서 구한 함수인 경우, 미적분학의 기본 정리에 따라 유효합니다.

$f (x) = \frac{6}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{4} + \frac{4}{3} x^{3} + C x + C$