미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}$ ; $[- 2, 2]$

단계 1

함수의 평균값을 구하려면 함수가 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이어야 합니다. $f (x)$ 이 $[- 2, 2]$ 에서 연속인지 판단하려면 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 1.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{x^{2} + 4}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} + 4 = 0$

단계 1.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.1

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 4$

단계 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

단계 1.2.3

$\pm \sqrt{- 4}$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1

$- 4$ 을 $- 1 (4)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

단계 1.2.3.2

$\sqrt{- 1 (4)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

단계 1.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

단계 1.2.3.4

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

단계 1.2.3.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \cdot 2$

단계 1.2.3.6

$i$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \pm 2 i$

단계 1.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 1.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 2 i$

단계 1.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 2 i$

단계 1.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 2 i, - 2 i$

단계 1.3

정의역은 모든 실수입니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[- 2, 2]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{x^{2} + 4} d x)$

단계 5

식을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$x^{2}$ 와 $4$ 을 다시 정렬합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{4 + x^{2}} d x)$

단계 5.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x)$

단계 6

$\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{- 2}^{2}$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{1}{2} \cdot \arctan (\frac{x}{2})]_{- 2}^{2})$

단계 7

답을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\arctan (\frac{x}{2})$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}]_{- 2}^{2})$

단계 7.2

대입하여 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$2$ , $- 2$ 일 때, $\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} ((\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2}) - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

단계 7.2.2

간단히 합니다.

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단계 7.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

단계 7.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

단계 7.2.2.2

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.2.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2})}{2})$

단계 7.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.2.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)})}{2})$

단계 7.2.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1})}{2})$

단계 7.2.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 1}{1})}{2})$

단계 7.2.2.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (- 1)}{2})$

단계 7.3

간단히 합니다.

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단계 7.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1) - \arctan (- 1)}{2})$

단계 7.3.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.3.2.1

$\arctan (1)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{4}$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} - \arctan (- 1)}{2})$

단계 7.3.2.2

$\arctan (- 1)$ 의 정확한 값은 $- \frac{π}{4}$ 입니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{2})$

단계 7.3.2.3

$- - \frac{π}{4}$ 을 곱합니다.

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단계 7.3.2.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + 1 (\frac{π}{4})}{2})$

단계 7.3.2.3.2

$\frac{π}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{2})$

단계 7.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π + π}{4}}{2})$

단계 7.3.4

$π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{4}}{2})$

단계 7.3.5

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.5.1

$2 π$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 (π)}{4}}{2})$

단계 7.3.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.5.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{2})$

단계 7.3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{2})$

단계 7.3.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

단계 7.3.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

단계 7.3.7

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 7.3.7.1

$\frac{π}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{2 \cdot 2})$

단계 7.3.7.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{4})$

단계 8

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{π}{4}$

단계 9

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{4}$ 을 곱합니다.

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단계 9.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{π}{4}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{π}{4 \cdot 4}$

단계 9.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{π}{16}$

단계 10