미적분 예제

$f (x) = e^{2 x} + e^{- x}$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $e^{2 x} + e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.1.2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 1.1.1.2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 1.1.1.2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 1.1.1.2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 1.1.1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 1.1.1.2.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 1.1.1.2.5

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f' (x) = 2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.1.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 2 e^{2 x} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

단계 1.1.1.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 e^{2 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

단계 1.1.1.3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 2 e^{2 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

단계 1.1.1.3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 2 e^{2 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

단계 1.1.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 e^{2 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

단계 1.1.1.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 e^{2 x} + e^{- x} \cdot - 1$

단계 1.1.1.3.5

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f' (x) = 2 e^{2 x} - 1 \cdot e^{- x}$

단계 1.1.1.3.6

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = 2 e^{2 x} - e^{- x}$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $2 e^{2 x} - e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 e^{2 x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 1.1.2.2.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 1.1.2.2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 1.1.2.2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 1.1.2.2.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 1.1.2.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 1.1.2.2.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 1.1.2.2.6

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f'' (x) = 2 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 1.1.2.2.7

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 4 e^{2 x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{- x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

단계 1.1.2.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x))$

단계 1.1.2.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x))$

단계 1.1.2.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

단계 1.1.2.3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

단계 1.1.2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

단계 1.1.2.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

단계 1.1.2.3.6

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

단계 1.1.2.3.7

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = 4 e^{2 x} + e^{- x}$

단계 1.1.2.3.8

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 4 e^{2 x} + 1 e^{- x}$

단계 1.1.2.3.9

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 4 e^{2 x} + e^{- x}$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $4 e^{2 x} + e^{- x}$ 입니다.

$4 e^{2 x} + e^{- x}$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $4 e^{2 x} + e^{- x} = 0$ 을 풉니다.

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단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$4 e^{2 x} + e^{- x} = 0$

단계 1.2.2

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

해 없음

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 미분값이 양수이므로 그래프는 위로 오목합니다.

위로 오목한 그래프

단계 4