미적분 예제

$f (u) = \sqrt{u} (5 - u^{6})$

단계 1

$f (u) = \sqrt{u}$ , $g (u) = 5 - u^{6}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ 는 $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sqrt{u} \frac{d}{d u} [5 - u^{6}] + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $5 - u^{6}$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u} [5] + \frac{d}{d u} [- u^{6}]$ 가 됩니다.

$\sqrt{u} (\frac{d}{d u} [5] + \frac{d}{d u} [- u^{6}]) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

단계 2.2

$5$ 이 $u$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$\sqrt{u} (0 + \frac{d}{d u} [- u^{6}]) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

단계 3

$\frac{d}{d u} [- u^{6}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 일정하므로 $u$ 에 대한 $- u^{6}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d u} [u^{6}]$ 입니다.

$\sqrt{u} (0 - \frac{d}{d u} [u^{6}]) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

단계 3.2

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sqrt{u} (0 - (6 u^{5})) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

단계 3.3

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\sqrt{u} (0 - 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

단계 4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$0$ 에서 $6 u^{5}$ 을 뺍니다.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

단계 4.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.3

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 8.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{- 1}{2}})$

단계 9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}})$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}})$

단계 10.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$u^{\frac{1}{2}} (- 6 u^{5}) + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.2

지수를 더하여 $u^{\frac{1}{2}}$ 에 $u^{5}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

$u^{5}$ 를 옮깁니다.

$u^{5} u^{\frac{1}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$u^{5 + \frac{1}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $5$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$u^{5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.2.4

$5$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$u^{\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$u^{\frac{5 \cdot 2 + 1}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.2.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.6.1

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u^{\frac{10 + 1}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.2.6.2

$10$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u^{\frac{11}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.3

$u^{\frac{11}{2}}$ 의 왼쪽으로 $- 6$ 이동하기

$- 6 \cdot u^{\frac{11}{2}} + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.4

$5$ 와 $\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.5

$\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ 와 $u^{6}$ 을 묶습니다.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.6

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6} u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 11.2.7

지수를 더하여 $u^{6}$ 에 $u^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.7.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6 - \frac{1}{2}}}{2}$

단계 11.2.7.2

공통 분모를 가지는 분수로 $6$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

단계 11.2.7.3

$6$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

단계 11.2.7.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{6 \cdot 2 - 1}{2}}}{2}$

단계 11.2.7.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.7.5.1

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{12 - 1}{2}}}{2}$

단계 11.2.7.5.2

$12$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{11}{2}}}{2}$

단계 11.2.8

공통 분모를 가지는 분수로 $- 6 u^{\frac{11}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.9

$- 6 u^{\frac{11}{2}}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 6 u^{\frac{11}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 6 u^{\frac{11}{2}} \cdot 2 - u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.11

$2$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12 u^{\frac{11}{2}} - u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.12

$- 12 u^{\frac{11}{2}}$ 에서 $u^{\frac{11}{2}}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 13 u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{13 u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{13 u^{\frac{11}{2}}}{2}$