미적분 예제

$lim_{x \to 1} (x - 1) \ln (x - 1)$

단계 1

극한을 우극한으로 바꿉니다.

$lim_{x \to 1^{+}} (x - 1) \ln (x - 1)$

단계 2

$(x - 1) \ln (x - 1)$ 을 $\frac{x - 1}{\frac{1}{\ln (x - 1)}}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{x - 1}{\frac{1}{\ln (x - 1)}}$

단계 3

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 3.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x - 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

단계 3.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 3.1.2.1

극한값을 계산합니다.

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단계 3.1.2.1.1

$x$ 가 $1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x - lim_{x \to 1^{+}} 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

단계 3.1.2.1.2

$x$ 가 $1$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

단계 3.1.2.2

$x$ 에 $1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

단계 3.1.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 3.1.2.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

단계 3.1.2.3.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

단계 3.1.3

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{\ln (x - 1)}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{0}{0}$

단계 3.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 3.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{x - 1}{\frac{1}{\ln (x - 1)}} = lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

단계 3.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

단계 3.3.2

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

단계 3.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

단계 3.3.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

단계 3.3.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

단계 3.3.6

$\frac{1}{\ln (x - 1)}$ 을 $\ln^{- 1} (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln^{- 1} (x - 1)]}$

단계 3.3.7

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = \ln (x - 1)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\ln (x - 1)$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

단계 3.3.7.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

단계 3.3.7.3

$u_{1}$ 를 모두 $\ln (x - 1)$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \ln^{- 2} (x - 1) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

단계 3.3.8

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \ln^{- 2} (x - 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - 1])}$

단계 3.3.8.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \ln^{- 2} (x - 1) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}$

단계 3.3.8.3

$u_{2}$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \ln^{- 2} (x - 1) (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])}$

단계 3.3.9

$\frac{1}{x - 1}$ 와 $\ln^{- 2} (x - 1)$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{\ln^{- 2} (x - 1)}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]}$

단계 3.3.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $\ln^{- 2} (x - 1)$ 를 분모로 이동합니다.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} \frac{d}{d x} [x - 1]}$

단계 3.3.11

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

단계 3.3.12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

단계 3.3.13

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} (1 + 0)}$

단계 3.3.14

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} \cdot 1}$

단계 3.3.15

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)}}$

단계 3.3.16

$- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{\ln^{2} (x - 1) (x - 1)}}$

단계 3.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to 1^{+}} 1 (- (\ln^{2} (x - 1) (x - 1)))$

단계 3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) (x - 1))$

단계 3.6

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) x + \ln^{2} (x - 1) \cdot - 1)$

단계 3.7

$\ln^{2} (x - 1)$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) x - 1 \cdot \ln^{2} (x - 1))$

단계 3.8

$- 1 \ln^{2} (x - 1)$ 을 $- \ln^{2} (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) x - \ln^{2} (x - 1))$

단계 3.9

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) x) - - \ln^{2} (x - 1)$

단계 3.10

$- - \ln^{2} (x - 1)$ 을 곱합니다.

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단계 3.10.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 1^{+}} - \ln^{2} (x - 1) x + 1 \ln^{2} (x - 1)$

단계 3.10.2

$\ln^{2} (x - 1)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 1^{+}} - \ln^{2} (x - 1) x + \ln^{2} (x - 1)$

단계 3.11

$- \ln^{2} (x - 1) x + \ln^{2} (x - 1)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to 1^{+}} - x \ln^{2} (x - 1) + \ln^{2} (x - 1)$

단계 4

$x$ 이 오른쪽에서 $1$ 에 접근할 때 함수 $- x \ln^{2} (x - 1) + \ln^{2} (x - 1)$ 의 개형을 보여주는 표를 그립니다.

$\begin{array}{c} x & - x \ln^{2} (x - 1) + \ln^{2} (x - 1) \\ 1.1 & - 0.53018981 \\ 1.01 & - 0.21207592 \\ 1.001 & - 0.04771708 \\ 1.0001 & - 0.00848303 \\ 1.00001 & - 0.00132547 \\ 1.000001 & - 0.00019086 \\ 1.0000001 & - 0.00002597 \end{array}$

단계 5

$x$ 값이 $1$ 에 접근하면서 함수값이 $0$ 에 접근합니다. 따라서, $x$ 이 $1$ 의 오른쪽에서 접근할 때 $- x \ln^{2} (x - 1) + \ln^{2} (x - 1)$ 의 극한은 $0$ 입니다.

$0$