미적분 예제

${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 ${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{5}) \frac{d}{d x} (x + 1) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

단계 1.1.2.1.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 5 u^{4} \frac{d}{d x} (x + 1) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

단계 1.1.2.1.3

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x + 1) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

단계 1.1.2.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

단계 1.1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} (1)) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

단계 1.1.2.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

단계 1.1.2.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

단계 1.1.2.6

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

단계 1.1.3.3

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5 + \frac{d}{d x} (- 2)$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5 + 0$

단계 1.1.4.2

$5 {(x + 1)}^{4} - 5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ 입니다.

$5 {(x + 1)}^{4} - 5$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$

단계 2.2

$5 {(x + 1)}^{4} - 5$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1.1

이항정리 이용

$5 (x^{4} + 4 x^{3} \cdot 1 + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

단계 2.2.1.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1.2.1

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

단계 2.2.1.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1 + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

단계 2.2.1.2.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

단계 2.2.1.2.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{4}) - 5 = 0$

단계 2.2.1.2.5

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1^{4}) - 5 = 0$

단계 2.2.1.2.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1) - 5 = 0$

단계 2.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + 5 (6 x^{2}) + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

단계 2.2.1.4

간단히 합니다.

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단계 2.2.1.4.1

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 5 (6 x^{2}) + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

단계 2.2.1.4.2

$6$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

단계 2.2.1.4.3

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

단계 2.2.1.4.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 - 5 = 0$

단계 2.2.2

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 - 5$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 2.2.2.1

$5$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 0 = 0$

단계 2.2.2.2

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x = 0$

단계 2.3

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

$x = - 2, 0$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 ${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = - 2$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $- 2$ 를 대입합니다.

${((- 2) + 1)}^{5} - 5 \cdot - 2 - 2$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$- 2$ 를 $1$ 에 더합니다.

${(- 1)}^{5} - 5 \cdot - 2 - 2$

단계 4.1.2.1.2

$- 1$ 를 $5$ 승 합니다.

$- 1 - 5 \cdot - 2 - 2$

단계 4.1.2.1.3

$- 5$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 1 + 10 - 2$

단계 4.1.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$- 1$ 를 $10$ 에 더합니다.

$9 - 2$

단계 4.1.2.2.2

$9$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$7$

단계 4.2

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

${((0) + 1)}^{5} - 5 \cdot 0 - 2$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1^{5} - 5 \cdot 0 - 2$

단계 4.2.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 - 5 \cdot 0 - 2$

단계 4.2.2.1.3

$- 5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$1 + 0 - 2$

단계 4.2.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.2.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1 - 2$

단계 4.2.2.2.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 1$

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(- 2, 7), (0, - 1)$

단계 5