미적분 예제

$e^{2 x} + e^{- x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $e^{2 x} + e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 1.1.2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 1.1.2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 1.1.2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 1.1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 1.1.2.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 1.1.2.5

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.1.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 e^{2 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.1.3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$2 e^{2 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.1.3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 e^{2 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 e^{2 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

단계 1.1.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 e^{2 x} + e^{- x} \cdot - 1$

단계 1.1.3.5

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$2 e^{2 x} - 1 \cdot e^{- x}$

단계 1.1.3.6

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = 2 e^{2 x} - e^{- x}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $2 e^{2 x} - e^{- x}$ 입니다.

$2 e^{2 x} - e^{- x}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $2 e^{2 x} - e^{- x} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$2 e^{2 x} - e^{- x} = 0$

단계 2.2

양변에 그 값을 더하여 $- e^{- x}$ 을 식의 우변으로 옮깁니다.

$2 e^{2 x} = e^{- x}$

단계 2.3

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (2 e^{2 x}) = \ln (e^{- x})$

단계 2.4

왼편을 확장합니다.

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단계 2.4.1

$\ln (2 e^{2 x})$ 을 $\ln (2) + \ln (e^{2 x})$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (2) + \ln (e^{2 x}) = \ln (e^{- x})$

단계 2.4.2

$2 x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{2 x})$ 을 전개합니다.

$\ln (2) + 2 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

단계 2.4.3

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$\ln (2) + 2 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

단계 2.4.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (2) + 2 x = \ln (e^{- x})$

단계 2.5

왼편을 확장합니다.

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단계 2.5.1

$- x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{- x})$ 을 전개합니다.

$\ln (2) + 2 x = - x \ln (e)$

단계 2.5.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$\ln (2) + 2 x = - x \cdot 1$

단계 2.5.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (2) + 2 x = - x$

단계 2.6

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 2.6.1

방정식의 양변에 $x$ 를 더합니다.

$\ln (2) + 2 x + x = 0$

단계 2.6.2

$2 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\ln (2) + 3 x = 0$

단계 2.7

방정식의 양변에서 $\ln (2)$ 를 뺍니다.

$3 x = - \ln (2)$

단계 2.8

$3 x = - \ln (2)$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.8.1

$3 x = - \ln (2)$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \ln (2)}{3}$

단계 2.8.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.8.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \ln (2)}{3}$

단계 2.8.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- \ln (2)}{3}$

단계 2.8.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.8.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{\ln (2)}{3}$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $e^{2 x} + e^{- x}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = - \frac{\ln (2)}{3}$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $- \frac{\ln (2)}{3}$ 를 대입합니다.

$e^{2 (- \frac{\ln (2)}{3})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

단계 4.1.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1

$\frac{\ln (2)}{3}$ 을 $\frac{1}{3} \ln (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{2 (- (\frac{1}{3} \ln (2)))} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

단계 4.1.2.2

$\frac{1}{3}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{3} \ln (2)$ 을 간단히 합니다.

$e^{2 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

단계 4.1.2.3

$2 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.2.3.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

단계 4.1.2.3.2

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})$ 을 간단히 합니다.

$e^{- \ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

단계 4.1.2.4

$- 1$ 를 로그 안으로 옮겨 $- \ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})$ 을 간단히 합니다.

$e^{\ln ({({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

단계 4.1.2.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

${({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

단계 4.1.2.6

${({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.1.2.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(2^{\frac{1}{3}})}^{2 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

단계 4.1.2.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

단계 4.1.2.7

${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.1.2.7.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2^{\frac{1}{3} \cdot - 2} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

단계 4.1.2.7.2

$\frac{1}{3}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$2^{\frac{- 2}{3}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

단계 4.1.2.7.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2^{- \frac{2}{3}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

단계 4.1.2.8

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

단계 4.1.2.9

$\frac{\ln (2)}{3}$ 을 $\frac{1}{3} \ln (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- - (\frac{1}{3} \ln (2))}$

단계 4.1.2.10

$\frac{1}{3}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{3} \ln (2)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- - \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

단계 4.1.2.11

$- - \ln (2^{\frac{1}{3}})$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.2.11.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{1 \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

단계 4.1.2.11.2

$\ln (2^{\frac{1}{3}})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{\ln (2^{\frac{1}{3}})}$

단계 4.1.2.12

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + 2^{\frac{1}{3}}$

단계 4.2

모든 점을 나열합니다.

$(- \frac{\ln (2)}{3}, \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + 2^{\frac{1}{3}})$

단계 5