미적분 예제

$f (x) = 5 x^{6} - 105 x^{5} + 655 x^{4} - 35 x^{3} - 11760 x^{2} + 27440 x$

단계 1

$5 x^{6} - 105 x^{5} + 655 x^{4} - 35 x^{3} - 11760 x^{2} + 27440 x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$5 x^{6} - 105 x^{5} + 655 x^{4} - 35 x^{3} - 11760 x^{2} + 27440 x = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.1.1

$5 x^{6} - 105 x^{5} + 655 x^{4} - 35 x^{3} - 11760 x^{2} + 27440 x$ 에서 $5 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.1.1

$5 x^{6}$ 에서 $5 x$ 를 인수분해합니다.

$5 x (x^{5}) - 105 x^{5} + 655 x^{4} - 35 x^{3} - 11760 x^{2} + 27440 x = 0$

단계 2.1.1.2

$- 105 x^{5}$ 에서 $5 x$ 를 인수분해합니다.

$5 x (x^{5}) + 5 x (- 21 x^{4}) + 655 x^{4} - 35 x^{3} - 11760 x^{2} + 27440 x = 0$

단계 2.1.1.3

$655 x^{4}$ 에서 $5 x$ 를 인수분해합니다.

$5 x (x^{5}) + 5 x (- 21 x^{4}) + 5 x (131 x^{3}) - 35 x^{3} - 11760 x^{2} + 27440 x = 0$

단계 2.1.1.4

$- 35 x^{3}$ 에서 $5 x$ 를 인수분해합니다.

$5 x (x^{5}) + 5 x (- 21 x^{4}) + 5 x (131 x^{3}) + 5 x (- 7 x^{2}) - 11760 x^{2} + 27440 x = 0$

단계 2.1.1.5

$- 11760 x^{2}$ 에서 $5 x$ 를 인수분해합니다.

$5 x (x^{5}) + 5 x (- 21 x^{4}) + 5 x (131 x^{3}) + 5 x (- 7 x^{2}) + 5 x (- 2352 x) + 27440 x = 0$

단계 2.1.1.6

$27440 x$ 에서 $5 x$ 를 인수분해합니다.

$5 x (x^{5}) + 5 x (- 21 x^{4}) + 5 x (131 x^{3}) + 5 x (- 7 x^{2}) + 5 x (- 2352 x) + 5 x (5488) = 0$

단계 2.1.1.7

$5 x (x^{5}) + 5 x (- 21 x^{4})$ 에서 $5 x$ 를 인수분해합니다.

$5 x (x^{5} - 21 x^{4}) + 5 x (131 x^{3}) + 5 x (- 7 x^{2}) + 5 x (- 2352 x) + 5 x (5488) = 0$

단계 2.1.1.8

$5 x (x^{5} - 21 x^{4}) + 5 x (131 x^{3})$ 에서 $5 x$ 를 인수분해합니다.

$5 x (x^{5} - 21 x^{4} + 131 x^{3}) + 5 x (- 7 x^{2}) + 5 x (- 2352 x) + 5 x (5488) = 0$

단계 2.1.1.9

$5 x (x^{5} - 21 x^{4} + 131 x^{3}) + 5 x (- 7 x^{2})$ 에서 $5 x$ 를 인수분해합니다.

$5 x (x^{5} - 21 x^{4} + 131 x^{3} - 7 x^{2}) + 5 x (- 2352 x) + 5 x (5488) = 0$

단계 2.1.1.10

$5 x (x^{5} - 21 x^{4} + 131 x^{3} - 7 x^{2}) + 5 x (- 2352 x)$ 에서 $5 x$ 를 인수분해합니다.

$5 x (x^{5} - 21 x^{4} + 131 x^{3} - 7 x^{2} - 2352 x) + 5 x (5488) = 0$

단계 2.1.1.11

$5 x (x^{5} - 21 x^{4} + 131 x^{3} - 7 x^{2} - 2352 x) + 5 x (5488)$ 에서 $5 x$ 를 인수분해합니다.

$5 x (x^{5} - 21 x^{4} + 131 x^{3} - 7 x^{2} - 2352 x + 5488) = 0$

단계 2.1.2

항을 다시 묶습니다.

$5 x (x^{5} - 7 x^{2} - 2352 x - 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488) = 0$

단계 2.1.3

$x^{5} - 7 x^{2} - 2352 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$x^{5}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$5 x (x \cdot x^{4} - 7 x^{2} - 2352 x - 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488) = 0$

단계 2.1.3.2

$- 7 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$5 x (x \cdot x^{4} + x (- 7 x) - 2352 x - 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488) = 0$

단계 2.1.3.3

$- 2352 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$5 x (x \cdot x^{4} + x (- 7 x) + x \cdot - 2352 - 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488) = 0$

단계 2.1.3.4

$x \cdot x^{4} + x (- 7 x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$5 x (x (x^{4} - 7 x) + x \cdot - 2352 - 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488) = 0$

단계 2.1.3.5

$x (x^{4} - 7 x) + x \cdot - 2352$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$5 x (x (x^{4} - 7 x - 2352) - 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488) = 0$

단계 2.1.4

인수분해합니다.

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단계 2.1.4.1

유리근 정리르 이용하여 $x^{4} - 7 x - 2352$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.4.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2352, \pm 2, \pm 1176, \pm 3, \pm 784, \pm 4, \pm 588, \pm 6, \pm 392, \pm 7, \pm 336, \pm 8, \pm 294, \pm 12, \pm 196, \pm 14, \pm 168, \pm 16, \pm 147, \pm 21, \pm 112, \pm 24, \pm 98, \pm 28, \pm 84, \pm 42, \pm 56, \pm 48, \pm 49$

$q = \pm 1$

단계 2.1.4.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 2352, \pm 2, \pm 1176, \pm 3, \pm 784, \pm 4, \pm 588, \pm 6, \pm 392, \pm 7, \pm 336, \pm 8, \pm 294, \pm 12, \pm 196, \pm 14, \pm 168, \pm 16, \pm 147, \pm 21, \pm 112, \pm 24, \pm 98, \pm 28, \pm 84, \pm 42, \pm 56, \pm 48, \pm 49$

단계 2.1.4.1.3

$7$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $7$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1.3.1

$7$ 을 다항식에 대입합니다.

$7^{4} - 7 \cdot 7 - 2352$

단계 2.1.4.1.3.2

$7$ 를 $4$ 승 합니다.

$2401 - 7 \cdot 7 - 2352$

단계 2.1.4.1.3.3

$- 7$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$2401 - 49 - 2352$

단계 2.1.4.1.3.4

$2401$ 에서 $49$ 을 뺍니다.

$2352 - 2352$

단계 2.1.4.1.3.5

$2352$ 에서 $2352$ 을 뺍니다.

$0$

단계 2.1.4.1.4

$7$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 7$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{4} - 7 x - 2352}{x - 7}$

단계 2.1.4.1.5

$x^{4} - 7 x - 2352$ 을 $x - 7$ 로 나눕니다.

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단계 2.1.4.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

단계 2.1.4.1.5.2

피제수 $x^{4}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{3}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

단계 2.1.4.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{3}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

단계 2.1.4.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{4} - 7 x^{3}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{3}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

단계 2.1.4.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{3}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

단계 2.1.4.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{3}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

단계 2.1.4.1.5.7

피제수 $7 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

단계 2.1.4.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

단계 2.1.4.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $7 x^{3} - 49 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

단계 2.1.4.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

단계 2.1.4.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

단계 2.1.4.1.5.12

피제수 $49 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

단계 2.1.4.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

$49 x^{2}$

$343 x$

단계 2.1.4.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $49 x^{2} - 343 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

$49 x^{2}$

$343 x$

단계 2.1.4.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

$49 x^{2}$

$343 x$

$336 x$

단계 2.1.4.1.5.16

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

$49 x^{2}$

$343 x$

$336 x$

$2352$

단계 2.1.4.1.5.17

피제수 $336 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$336$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

$49 x^{2}$

$343 x$

$336 x$

$2352$

단계 2.1.4.1.5.18

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$336$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

$49 x^{2}$

$343 x$

$336 x$

$2352$

$336 x$

$2352$

단계 2.1.4.1.5.19

식을 피제수에서 빼야 하므로 $336 x - 2352$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$336$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

$49 x^{2}$

$343 x$

$336 x$

$2352$

$336 x$

$2352$

단계 2.1.4.1.5.20

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$336$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

$49 x^{2}$

$343 x$

$336 x$

$2352$

$336 x$

$2352$

$0$

단계 2.1.4.1.5.21

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336$

단계 2.1.4.1.6

$x^{4} - 7 x - 2352$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$5 x (x ((x - 7) (x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336)) - 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488) = 0$

단계 2.1.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$5 x (x (x - 7) (x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336) - 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488) = 0$

단계 2.1.5

유리근 정리르 이용하여 $- 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 5488, \pm 2, \pm 2744, \pm 4, \pm 1372, \pm 7, \pm 784, \pm 8, \pm 686, \pm 14, \pm 392, \pm 16, \pm 343, \pm 28, \pm 196, \pm 49, \pm 112, \pm 56, \pm 98$

$q = \pm 1, \pm 21, \pm 3, \pm 7$

단계 2.1.5.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.\overline{047619}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.\overline{142857}, \pm 5488, \pm 261.\overline{3}, \pm 1829.\overline{3}, \pm 784, \pm 2, \pm 0.\overline{095238}, \pm 0.\overline{6}, \pm 0.\overline{285714}, \pm 2744, \pm 130.\overline{6}, \pm 914.\overline{6}, \pm 392, \pm 4, \pm 0.\overline{190476}, \pm 1.\overline{3}, \pm 0.\overline{571428}, \pm 1372, \pm 65.\overline{3}, \pm 457.\overline{3}, \pm 196, \pm 7, \pm 2.\overline{3}, \pm 37.\overline{3}, \pm 112, \pm 8, \pm 0.\overline{380952}, \pm 2.\overline{6}, \pm 1.\overline{142857}, \pm 686, \pm 32.\overline{6}, \pm 228.\overline{6}, \pm 98, \pm 14, \pm 4.\overline{6}, \pm 18.\overline{6}, \pm 56, \pm 16, \pm 0.\overline{761904}, \pm 5.\overline{3}, \pm 2.\overline{285714}, \pm 343, \pm 16.\overline{3}, \pm 114.\overline{3}, \pm 49, \pm 28, \pm 9.\overline{3}$

단계 2.1.5.3

$7$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $7$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.3.1

$7$ 을 다항식에 대입합니다.

$- 21 \cdot 7^{4} + 131 \cdot 7^{3} + 5488$

단계 2.1.5.3.2

$7$ 를 $4$ 승 합니다.

$- 21 \cdot 2401 + 131 \cdot 7^{3} + 5488$

단계 2.1.5.3.3

$- 21$ 에 $2401$ 을 곱합니다.

$- 50421 + 131 \cdot 7^{3} + 5488$

단계 2.1.5.3.4

$7$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 50421 + 131 \cdot 343 + 5488$

단계 2.1.5.3.5

$131$ 에 $343$ 을 곱합니다.

$- 50421 + 44933 + 5488$

단계 2.1.5.3.6

$- 50421$ 를 $44933$ 에 더합니다.

$- 5488 + 5488$

단계 2.1.5.3.7

$- 5488$ 를 $5488$ 에 더합니다.

$0$

단계 2.1.5.4

$7$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 7$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{- 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488}{x - 7}$

단계 2.1.5.5

$- 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488$ 을 $x - 7$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

단계 2.1.5.5.2

피제수 $- 21 x^{4}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$21 x^{3}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

단계 2.1.5.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$21 x^{3}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

단계 2.1.5.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 21 x^{4} + 147 x^{3}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$21 x^{3}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

단계 2.1.5.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$21 x^{3}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

단계 2.1.5.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$21 x^{3}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

단계 2.1.5.5.7

피제수 $- 16 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

단계 2.1.5.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

단계 2.1.5.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 16 x^{3} + 112 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

단계 2.1.5.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

단계 2.1.5.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

단계 2.1.5.5.12

피제수 $- 112 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

단계 2.1.5.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

$112 x^{2}$

$784 x$

단계 2.1.5.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 112 x^{2} + 784 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

$112 x^{2}$

$784 x$

단계 2.1.5.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

$112 x^{2}$

$784 x$

단계 2.1.5.5.16

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

$112 x^{2}$

$784 x$

$5488$

단계 2.1.5.5.17

피제수 $- 784 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$784$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

$112 x^{2}$

$784 x$

$5488$

단계 2.1.5.5.18

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$784$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

$112 x^{2}$

$784 x$

$5488$

$784 x$

$5488$

단계 2.1.5.5.19

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 784 x + 5488$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$784$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

$112 x^{2}$

$784 x$

$5488$

$784 x$

$5488$

단계 2.1.5.5.20

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$784$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

$112 x^{2}$

$784 x$

$5488$

$784 x$

$5488$

$0$

단계 2.1.5.5.21

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$- 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784$

단계 2.1.5.6

$- 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$5 x (x (x - 7) (x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336) + (x - 7) (- 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

단계 2.1.6

$x (x - 7) (x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336) + (x - 7) (- 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)$ 에서 $x - 7$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.6.1

$x (x - 7) (x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336)$ 에서 $x - 7$ 를 인수분해합니다.

$5 x ((x - 7) (x (x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336)) + (x - 7) (- 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

단계 2.1.6.2

$(x - 7) (x (x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336)) + (x - 7) (- 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)$ 에서 $x - 7$ 를 인수분해합니다.

$5 x ((x - 7) (x (x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336) - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

단계 2.1.7

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x ((x - 7) (x \cdot x^{3} + x (7 x^{2}) + x (49 x) + x \cdot 336 - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

단계 2.1.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.8.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.8.1.1

$x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.8.1.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 x ((x - 7) (x \cdot x^{3} + x (7 x^{2}) + x (49 x) + x \cdot 336 - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

단계 2.1.8.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 x ((x - 7) (x^{1 + 3} + x (7 x^{2}) + x (49 x) + x \cdot 336 - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

단계 2.1.8.1.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$5 x ((x - 7) (x^{4} + x (7 x^{2}) + x (49 x) + x \cdot 336 - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

단계 2.1.8.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 x \cdot x^{2} + x (49 x) + x \cdot 336 - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

단계 2.1.8.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 x \cdot x^{2} + 49 x \cdot x + x \cdot 336 - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

단계 2.1.8.4

$x$ 의 왼쪽으로 $336$ 이동하기

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 x \cdot x^{2} + 49 x \cdot x + 336 \cdot x - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

단계 2.1.9

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.9.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.9.1.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 (x^{2} x) + 49 x \cdot x + 336 \cdot x - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

단계 2.1.9.1.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.9.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 (x^{2} x) + 49 x \cdot x + 336 \cdot x - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

단계 2.1.9.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 x^{2 + 1} + 49 x \cdot x + 336 \cdot x - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

단계 2.1.9.1.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 x^{3} + 49 x \cdot x + 336 \cdot x - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

단계 2.1.9.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.9.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 x^{3} + 49 (x \cdot x) + 336 \cdot x - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

단계 2.1.9.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 x^{3} + 49 x^{2} + 336 \cdot x - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 x^{3} + 49 x^{2} + 336 x - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

단계 2.1.10

$7 x^{3}$ 에서 $21 x^{3}$ 을 뺍니다.

$5 x ((x - 7) (x^{4} - 14 x^{3} + 49 x^{2} + 336 x - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

단계 2.1.11

$49 x^{2}$ 에서 $16 x^{2}$ 을 뺍니다.

$5 x ((x - 7) (x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 336 x - 112 x - 784)) = 0$

단계 2.1.12

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.12.1

$336 x$ 에서 $112 x$ 을 뺍니다.

$5 x ((x - 7) (x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 224 x - 784)) = 0$

단계 2.1.12.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$5 x (x - 7) (x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 224 x - 784) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x - 7 = 0$

$x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 224 x - 784 = 0$

단계 2.3

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 2.4

$x - 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x - 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 7 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$x = 7$

단계 2.5

$x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 224 x - 784$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 224 x - 784$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 224 x - 784 = 0$

단계 2.5.2

$x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 224 x - 784 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1.1

항을 다시 묶습니다.

$- 14 x^{3} + 224 x + x^{4} + 33 x^{2} - 784 = 0$

단계 2.5.2.1.2

$- 14 x^{3} + 224 x$ 에서 $- 14 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1.2.1

$- 14 x^{3}$ 에서 $- 14 x$ 를 인수분해합니다.

$- 14 x \cdot x^{2} + 224 x + x^{4} + 33 x^{2} - 784 = 0$

단계 2.5.2.1.2.2

$224 x$ 에서 $- 14 x$ 를 인수분해합니다.

$- 14 x \cdot x^{2} - 14 x \cdot - 16 + x^{4} + 33 x^{2} - 784 = 0$

단계 2.5.2.1.2.3

$- 14 x (x^{2}) - 14 x (- 16)$ 에서 $- 14 x$ 를 인수분해합니다.

$- 14 x (x^{2} - 16) + x^{4} + 33 x^{2} - 784 = 0$

단계 2.5.2.1.3

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 14 x (x^{2} - 4^{2}) + x^{4} + 33 x^{2} - 784 = 0$

단계 2.5.2.1.4

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1.4.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 4$ 입니다.

$- 14 x ((x + 4) (x - 4)) + x^{4} + 33 x^{2} - 784 = 0$

단계 2.5.2.1.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- 14 x (x + 4) (x - 4) + x^{4} + 33 x^{2} - 784 = 0$

단계 2.5.2.1.5

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 14 x (x + 4) (x - 4) + {(x^{2})}^{2} + 33 x^{2} - 784 = 0$

단계 2.5.2.1.6

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$- 14 x (x + 4) (x - 4) + u^{2} + 33 u - 784 = 0$

단계 2.5.2.1.7

AC 방법을 이용하여 $u^{2} + 33 u - 784$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1.7.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 784$ 이고 합은 $33$ 입니다.

$- 16, 49$

단계 2.5.2.1.7.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$- 14 x (x + 4) (x - 4) + (u - 16) (u + 49) = 0$

단계 2.5.2.1.8

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- 14 x (x + 4) (x - 4) + (x^{2} - 16) (x^{2} + 49) = 0$

단계 2.5.2.1.9

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 14 x (x + 4) (x - 4) + (x^{2} - 4^{2}) (x^{2} + 49) = 0$

단계 2.5.2.1.10

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 4$ 입니다.

$- 14 x (x + 4) (x - 4) + (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 49) = 0$

단계 2.5.2.1.11

$- 14 x (x + 4) (x - 4) + (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 49)$ 에서 $(x + 4) (x - 4)$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1.11.1

$- 14 x (x + 4) (x - 4)$ 에서 $(x + 4) (x - 4)$ 를 인수분해합니다.

$(x + 4) (x - 4) (- 14 x) + (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 49) = 0$

단계 2.5.2.1.11.2

$(x + 4) (x - 4) (- 14 x) + (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 49)$ 에서 $(x + 4) (x - 4)$ 를 인수분해합니다.

$(x + 4) (x - 4) (- 14 x + x^{2} + 49) = 0$

단계 2.5.2.1.12

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$(x + 4) (x - 4) (- 14 u + u^{2} + 49) = 0$

단계 2.5.2.1.13

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1.13.1

항을 다시 배열합니다.

$(x + 4) (x - 4) (u^{2} - 14 u + 49) = 0$

단계 2.5.2.1.13.2

$49$ 을 $7^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x + 4) (x - 4) (u^{2} - 14 u + 7^{2}) = 0$

단계 2.5.2.1.13.3

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$14 u = 2 \cdot u \cdot 7$

단계 2.5.2.1.13.4

다항식을 다시 씁니다.

$(x + 4) (x - 4) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 7 + 7^{2}) = 0$

단계 2.5.2.1.13.5

$a = u$ 이고 $b = 7$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$(x + 4) (x - 4) {(u - 7)}^{2} = 0$

단계 2.5.2.1.14

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$(x + 4) (x - 4) {(x - 7)}^{2} = 0$

단계 2.5.2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

${(x - 7)}^{2} = 0$

단계 2.5.2.3

$x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.3.1

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 2.5.2.3.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 2.5.2.4

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.4.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 2.5.2.4.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 2.5.2.5

${(x - 7)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.5.1

${(x - 7)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x - 7)}^{2} = 0$

단계 2.5.2.5.2

${(x - 7)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.5.2.1

$x - 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 7 = 0$

단계 2.5.2.5.2.2

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$x = 7$

단계 2.5.2.6

$(x + 4) (x - 4) {(x - 7)}^{2} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 4, 4, 7$

단계 2.6

최종 해는 $5 x (x - 7) (x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 224 x - 784) = 0$ 이 참이 되게 하는 모든 값입니다. 근의 중복도는 근이 나타나는 횟수입니다.

$x = 0$ ( $1$ 의 중복도)

$x = 7$ ( $2$ 의 중복도)

$x = - 4$ ( $1$ 의 중복도)

$x = 4$ ( $1$ 의 중복도)

$x = 0$ ( $1$ 의 중복도)

$x = 7$ ( $2$ 의 중복도)

$x = - 4$ ( $1$ 의 중복도)

$x = 4$ ( $1$ 의 중복도)

단계 3