미적분 예제

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 \cos (x)$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

단계 1.1.2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$f' (x) = 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

단계 1.1.2.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \cos^{3} (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ 입니다.

$f' (x) = - 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} \cos^{3} (x)$

단계 1.1.3.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

단계 1.1.3.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

단계 1.1.3.2.3

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

단계 1.1.3.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

단계 1.1.3.4

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

단계 1.1.3.5

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

단계 1.1.4

간단히 합니다.

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단계 1.1.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

단계 1.1.4.2

$3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ 에서 $3 \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1.4.2.1

$3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ 에서 $3 \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

단계 1.1.4.2.2

$- 3 \sin (x)$ 에서 $3 \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

단계 1.1.4.2.3

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ 에서 $3 \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

단계 1.1.4.3

$\cos^{2} (x)$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

단계 1.1.4.4

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 \cdot 1 + \cos^{2} (x))$

단계 1.1.4.5

$\cos^{2} (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 \cdot 1 - 1 (- \cos^{2} (x)))$

단계 1.1.4.6

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

단계 1.1.4.7

$- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ 을 $- (1 - \cos^{2} (x))$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = 3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

단계 1.1.4.8

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$f' (x) = 3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

단계 1.1.4.9

지수를 더하여 $\sin (x)$ 에 $\sin^{2} (x)$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.4.9.1

$\sin^{2} (x)$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

단계 1.1.4.9.2

$\sin^{2} (x)$ 에 $\sin (x)$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.4.9.2.1

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

단계 1.1.4.9.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = 3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

단계 1.1.4.9.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = 3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

단계 1.1.4.10

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 3 \sin^{3} (x)$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 3 \sin^{3} (x)$ 입니다.

$- 3 \sin^{3} (x)$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$

단계 2.2

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나눕니다.

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

단계 2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.2.1

$- 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

단계 2.2.2.1.2

$\sin^{3} (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin^{3} (x) = \frac{0}{- 3}$

단계 2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.3.1

$0$ 을 $- 3$ 로 나눕니다.

$\sin^{3} (x) = 0$

단계 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

단계 2.4

$\sqrt[3]{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

단계 2.4.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$\sin (x) = 0$

단계 2.5

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (0)$

단계 2.6

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 2.7

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = π - 0$

단계 2.8

$π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$x = π$

단계 2.9

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 2.9.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 2.9.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 2.9.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 2.9.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 2.10

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 2 π n, π + 2 π n$

단계 2.11

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = π n$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $π n$ 입니다.

$π n$

단계 4

도함수 $f' (x) = - 3 \sin^{3} (x)$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ 구간에서 $f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

단계 5

$(- \infty, π n)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $π n - 1$ 을 대입합니다.

$f' (π n - 1) = - 3 \sin^{3} (π n - 1)$

단계 5.2

최종 답은 $- 3 \sin^{3} (π n - 1)$ 입니다.

$- 3 \sin^{3} (π n - 1)$

단계 5.3

간단히 합니다.

$- 3 \sin^{3} (π n - 1)$

단계 5.4

$x = π n - 1$ 에서의 도함수는 $- 3 \sin^{3} (π n - 1)$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, π n)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, π n)$ 에서 감소함

단계 6

$(π n, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $π n + 1$ 을 대입합니다.

$f' (π n + 1) = - 3 \sin^{3} (π n + 1)$

단계 6.2

최종 답은 $- 3 \sin^{3} (π n + 1)$ 입니다.

$- 3 \sin^{3} (π n + 1)$

단계 6.3

간단히 합니다.

$- 3 \sin^{3} (π n + 1)$

단계 6.4

$x = π n + 1$ 에서의 도함수는 $- 3 \sin^{3} (π n + 1)$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(π n, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(π n, \infty)$ 에서 감소함

단계 7

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

다음 구간에서 감소: $(- \infty, π n), (π n, \infty)$

단계 8