미적분 예제

$f (x) = x \ln (x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.1

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \ln (x) \cdot 1$

단계 1.1.3.4

$\ln (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $1 + \ln (x)$ 입니다.

$1 + \ln (x)$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $1 + \ln (x) = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$1 + \ln (x) = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$\ln (x) = - 1$

단계 2.3

$x$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

단계 2.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (x) = - 1$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- 1} = x$

단계 2.5

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.5.1

$x = e^{- 1}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x = e^{- 1}$

단계 2.5.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x = \frac{1}{e}$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $\frac{1}{e}$ 입니다.

$\frac{1}{e}$

단계 4

도함수가 정의되지 않은 위치를 찾습니다.

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단계 4.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\ln (x)$ 의 진수를 $0$ 보다 같거나 작게 설정해야 합니다.

$x \leq 0$

단계 4.2

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

단계 5

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e}) \cup (\frac{1}{e}, \infty)$

단계 6

정의역에 없는 구간을 제외합니다.

$(0, \frac{1}{e})$

단계 7

$(0, \frac{1}{e})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.18393972$ 을 대입합니다.

$f' (0.18393972) = 1 + \ln (0.18393972)$

단계 7.2

최종 답은 $1 + \ln (0.18393972)$ 입니다.

$1 + \ln (0.18393972)$

단계 7.3

간단히 합니다.

$- 0.69314715$

단계 7.4

$x = 0.18393972$ 에서의 도함수는 $- 0.69314715$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(0, \frac{1}{e})$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(0, \frac{1}{e})$ 에서 감소함

단계 8

정의역에 없는 구간을 제외합니다.

$(0, \frac{1}{e}), (\frac{1}{e}, \infty)$

단계 9

$(\frac{1}{e}, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 9.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1.36787945$ 을 대입합니다.

$f' (1.36787945) = 1 + \ln (1.36787945)$

단계 9.2

최종 답은 $1 + \ln (1.36787945)$ 입니다.

$1 + \ln (1.36787945)$

단계 9.3

간단히 합니다.

$1.31326169$

단계 9.4

$x = 1.36787945$ 에서의 도함수는 $1.31326169$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(\frac{1}{e}, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(\frac{1}{e}, \infty)$ 에서 증가함

단계 10

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(\frac{1}{e}, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(0, \frac{1}{e})$

단계 11