미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}}{x^{3}}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} 16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} 16 e^{\frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 16 - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.2.2

$16$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{16 lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 16 - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.2.3

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{16 e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 16 - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.2.4

$\frac{1}{4}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 16 - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.2.5

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $16$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 16 - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.2.6

$4$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 16 - 4 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.2.7

$\frac{1}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 16 - 4 lim_{x \to 0} x - \frac{1}{2} lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.2.8

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 16 - 4 lim_{x \to 0} x - \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.2.9

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 1.2.9.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} \cdot 0} - 1 \cdot 16 - 4 lim_{x \to 0} x - \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.2.9.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} \cdot 0} - 1 \cdot 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.2.9.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} \cdot 0} - 1 \cdot 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.2.10

답을 간단히 합니다.

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단계 1.2.10.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.10.1.1

$\frac{1}{4}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{16 e^{0} - 1 \cdot 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.2.10.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{16 \cdot 1 - 1 \cdot 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.2.10.1.3

$16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{16 - 1 \cdot 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.2.10.1.4

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{16 - 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.2.10.1.5

$- 4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{16 - 16 + 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.2.10.1.6

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{16 - 16 + 0 - \frac{1}{2} \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.2.10.1.7

$- \frac{1}{2} \cdot 0$ 을 곱합니다.

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단계 1.2.10.1.7.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{16 - 16 + 0 + 0 (\frac{1}{2})}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.2.10.1.7.2

$0$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{16 - 16 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.2.10.2

$16$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$\frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.2.10.3

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.2.10.4

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

단계 1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.3.1

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{3}$ 의 지수 $3$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

단계 1.3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0^{3}}$

단계 1.3.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [16 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [16 e^{\frac{x}{4}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $16 e^{\frac{x}{4}}$ 의 미분은 $16 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{16 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{x}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{16 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{16 (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.3.2.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{16 (e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.3.3

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{16 (e^{\frac{x}{4}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{16 (e^{\frac{x}{4}} (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.3.5

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{16 (e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4}) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.3.6

$e^{\frac{x}{4}}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{16 \frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.3.7

$16$ 와 $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{16 e^{\frac{x}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.3.8

$16$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.8.1

$16 e^{\frac{x}{4}}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 (4 e^{\frac{x}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.3.8.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.8.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 (4 e^{\frac{x}{4}})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.3.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 (4 e^{\frac{x}{4}})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.3.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 e^{\frac{x}{4}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.3.8.2.4

$4 e^{\frac{x}{4}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.4

$- 16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 16$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.5

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.5.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.5.3

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.6

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.6.1

$- \frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{2} x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.6.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 - \frac{1}{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.6.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 - 2 (\frac{1}{2}) x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.6.4

$- 2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{- 2}{2} x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.6.5

$\frac{- 2}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{- 2 x}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.6.6

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.6.1

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{2 (- x)}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.6.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.6.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{2 (- x)}{2 (1)}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.6.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.6.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{- x}{1}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.6.6.2.4

$- x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 - x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.7

간단히 합니다.

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단계 3.7.1

$4 e^{\frac{x}{4}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} - 4 - x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.7.2

항을 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.8

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4}{3 x^{2}}$

단계 4

$\frac{1}{3}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4}{x^{2}}$

단계 5

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 5.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 5.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 5.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 5.1.2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4 e^{\frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 5.1.2.2

$4$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x + 4 lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 5.1.2.3

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x + 4 e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 5.1.2.4

$\frac{1}{4}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x + 4 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 5.1.2.5

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $4$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x + 4 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 5.1.2.6

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 5.1.2.6.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 5.1.2.6.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 e^{\frac{1}{4} \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 5.1.2.7

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.7.1.1

$\frac{1}{4}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 e^{0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 5.1.2.7.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 5.1.2.7.1.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 5.1.2.7.1.4

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 - 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 5.1.2.7.2

$0$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 5.1.2.7.3

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

단계 5.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

단계 5.1.3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

단계 5.1.3.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

단계 5.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

단계 5.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

단계 5.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 5.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 5.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 5.3.2

합의 법칙에 의해 $- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 5.3.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 5.3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 5.3.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 5.3.4

$\frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 e^{\frac{x}{4}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ 입니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 5.3.4.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{x}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.3.4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 5.3.4.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 5.3.4.2.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 5.3.4.3

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 5.3.4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 5.3.4.5

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 5.3.4.6

$e^{\frac{x}{4}}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 \frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 5.3.4.7

$4$ 와 $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \frac{4 e^{\frac{x}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 5.3.4.8

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.4.8.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \frac{4 e^{\frac{x}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 5.3.4.8.2

$e^{\frac{x}{4}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 5.3.5

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 5.3.6

$- 1 + e^{\frac{x}{4}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 5.3.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}}}{2 x}$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}}}{x}$

단계 7

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 7.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 7.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} - 1 + e^{\frac{x}{4}}}{lim_{x \to 0} x}$

단계 7.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 7.1.2.1

극한값을 계산합니다.

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단계 7.1.2.1.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{4}}}{lim_{x \to 0} x}$

단계 7.1.2.1.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{4}}}{lim_{x \to 0} x}$

단계 7.1.2.1.3

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 + e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{4}}}{lim_{x \to 0} x}$

단계 7.1.2.1.4

$\frac{1}{4}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 + e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

단계 7.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 + e^{\frac{1}{4} \cdot 0}}{lim_{x \to 0} x}$

단계 7.1.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.3.1.1

$\frac{1}{4}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 + e^{0}}{lim_{x \to 0} x}$

단계 7.1.2.3.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 7.1.2.3.2

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 7.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

단계 7.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

단계 7.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + e^{\frac{x}{4}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 7.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + e^{\frac{x}{4}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 7.3.2

합의 법칙에 의해 $- 1 + e^{\frac{x}{4}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 7.3.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 7.3.4

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.4.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{x}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 7.3.4.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 7.3.4.1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 7.3.4.2

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 7.3.4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 7.3.4.4

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 7.3.4.5

$e^{\frac{x}{4}}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 7.3.5

$0$ 를 $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 7.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}{1}$

단계 7.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \cdot 1$

단계 7.5

$\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$

단계 8

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\frac{1}{4}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{4}}$

단계 8.2

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{4}}$

단계 8.3

$\frac{1}{4}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x}$

단계 9

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} e^{\frac{1}{4} \cdot 0}$

단계 10

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 \cdot 2} \cdot \frac{1}{4} e^{\frac{1}{4} \cdot 0}$

단계 10.1.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} e^{\frac{1}{4} \cdot 0}$

단계 10.2

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$\frac{1}{6}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6 \cdot 4} e^{\frac{1}{4} \cdot 0}$

단계 10.2.2

$6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{24} e^{\frac{1}{4} \cdot 0}$

단계 10.3

$\frac{1}{4}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{24} e^{0}$

단계 10.4

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{24} \cdot 1$

단계 10.5

$\frac{1}{24}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{24}$