미적분 예제

$\frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$

단계 1

$\frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$

단계 2

1차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 8 + e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

단계 2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

단계 2.1.3

미분합니다.

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단계 2.1.3.1

합의 법칙에 의해 $8 + e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

단계 2.1.3.2

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

단계 2.1.3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

단계 2.1.4

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

단계 2.1.5

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1.5.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

단계 2.1.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

단계 2.1.5.3

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

단계 2.1.6

간단히 합니다.

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단계 2.1.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{8 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

단계 2.1.6.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.1.6.2.1

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1.6.2.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{8 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

단계 2.1.6.2.1.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{8 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

단계 2.1.6.2.2

$8 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 2.1.6.2.2.1

$e^{2 x}$ 에서 $e^{2 x}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{8 e^{x} + 0}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

단계 2.1.6.2.2.2

$8 e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

단계 2.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ 입니다.

$\frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

단계 3

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 3.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}} = 0$

단계 3.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$8 e^{x} = 0$

단계 3.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.3.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (8 e^{x}) = \ln (0)$

단계 3.3.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 3.3.3

$8 e^{x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음

단계 5

도함수 $f' (x) = \frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점이 없습니다. $f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ 가 증가하는지 또는 감소하는지를 확인하는 구간은 $(- \infty, \infty)$ 입니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 6

구간 $(- \infty, \infty)$ 에 속한 임의의 값, 예를 들면 $1$ 을 도함수 $f' (x) = \frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ 에 대입하여 결과가 음수인지 또는 양수인지를 확인합니다. 결과가 음수인 경우, 그래프는 $(- \infty, \infty)$ 구간에서 감소합니다. 결과가 양수인 경우, 그래프는 $(- \infty, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = \frac{8 e^{1}}{{(8 + e^{1})}^{2}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

간단히 합니다.

$f' (1) = \frac{8 e}{{(8 + e)}^{2}}$

단계 6.2.2

최종 답은 $\frac{8 e}{{(8 + e)}^{2}}$ 입니다.

$\frac{8 e}{{(8 + e)}^{2}}$

단계 7

$f' (x) = \frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ 에 $1$ 을 대입한 결과는 $\frac{8 e}{{(8 + e)}^{2}}$ 로 양수입니다. 따라서 그래프는 $(- \infty, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$\frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}} > 0$ 이므로 $(- \infty, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

$(- \infty, \infty)$ 구간에서 증가하면 함수는 항상 증가합니다.

항상 증가

단계 9