미적분 예제

$\int_{1}^{\sqrt{x}} \frac{z^{2}}{z^{4} + 1} d z$

단계 1

미적분학의 기본정리와 연쇄법칙에 의해 $x$ 에 대해 $\int_{1}^{\sqrt{x}} \frac{z^{2}}{z^{4} + 1} d z$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

단계 2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

단계 2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

단계 6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

단계 7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

단계 8.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

단계 9

${\sqrt{x}}^{2}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 9.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

단계 9.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

단계 9.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{2}}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

단계 9.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{2}}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

단계 9.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{1}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

단계 9.5

간단히 합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

단계 10

${\sqrt{x}}^{4}$ 을 $x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 10.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{4} + 1}$

단계 10.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 1}$

단계 10.3

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{4}{2}} + 1}$

단계 10.4

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 1}$

단계 10.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 10.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 1}$

단계 10.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 1}$

단계 10.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{2}{1}} + 1}$

단계 10.4.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{2} + 1}$

단계 11

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{x}{x^{2} + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

단계 12

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

단계 13

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 13.1

$x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 13.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

단계 13.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

단계 13.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

단계 13.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

단계 13.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$