미적분 예제

$\frac{\ln (x)}{x}$

단계 1

$\frac{\ln (x)}{x}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

단계 2

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.1.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.1.3.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 2.1.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

단계 2.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ 입니다.

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

단계 3

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

단계 3.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$1 - \ln (x) = 0$

단계 3.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- \ln (x) = - 1$

단계 3.3.2

$- \ln (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$- \ln (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 3.3.2.2.2

$\ln (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

단계 3.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.3.1

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\ln (x) = 1$

단계 3.3.3

$x$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

단계 3.3.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (x) = 1$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{1} = x$

단계 3.3.5

$x = e^{1}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x = e$

단계 4

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $e$ 입니다.

$e$

단계 5

도함수가 정의되지 않은 위치를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} = 0$

단계 5.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 5.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 5.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 5.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 5.3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\ln (x)$ 의 진수를 $0$ 보다 같거나 작게 설정해야 합니다.

$x \leq 0$

단계 5.4

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

단계 6

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, e) \cup (e, \infty)$

단계 7

정의역에 없는 구간을 제외합니다.

$(0, e)$

단계 8

$(0, e)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1.35914085$ 을 대입합니다.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{{(1.35914085)}^{2}}$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$1.35914085$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \ln (1.35914085)}{1.84726385}$

단계 8.2.2

$e$ 를 근사치로 바꿉니다.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (1.35914085)}{1.84726385}$

단계 8.2.3

$1.35914085$ 에 밑이 $2.71828182$ 인 상용로그를 취하면 약 $0.30685277$ 이 됩니다.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 1 \cdot 0.30685277}{1.84726385}$

단계 8.2.4

$- 1$ 에 $0.30685277$ 을 곱합니다.

$f' (1.35914085) = \frac{1 - 0.30685277}{1.84726385}$

단계 8.2.5

$1$ 에서 $0.30685277$ 을 뺍니다.

$f' (1.35914085) = \frac{0.69314722}{1.84726385}$

단계 8.2.6

$0.69314722$ 을 $1.84726385$ 로 나눕니다.

$f' (1.35914085) = 0.37522914$

단계 8.2.7

최종 답은 $0.37522914$ 입니다.

$0.37522914$

단계 8.3

$x = 1.35914085$ 에서의 도함수는 $0.37522914$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(0, e)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(0, e)$ 에서 증가함

단계 9

정의역에 없는 구간을 제외합니다.

$(0, e), (e, \infty)$

단계 10

$(e, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3.7182817$ 을 대입합니다.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{{(3.7182817)}^{2}}$

단계 10.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$3.7182817$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \ln (3.7182817)}{13.8256188}$

단계 10.2.2

$e$ 를 근사치로 바꿉니다.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - \log_{2.71828182} (3.7182817)}{13.8256188}$

단계 10.2.3

$3.7182817$ 에 밑이 $2.71828182$ 인 상용로그를 취하면 약 $1.31326165$ 이 됩니다.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1 \cdot 1.31326165}{13.8256188}$

단계 10.2.4

$- 1$ 에 $1.31326165$ 을 곱합니다.

$f' (3.7182817) = \frac{1 - 1.31326165}{13.8256188}$

단계 10.2.5

$1$ 에서 $1.31326165$ 을 뺍니다.

$f' (3.7182817) = \frac{- 0.31326165}{13.8256188}$

단계 10.2.6

$- 0.31326165$ 을 $13.8256188$ 로 나눕니다.

$f' (3.7182817) = - 0.02265805$

단계 10.2.7

최종 답은 $- 0.02265805$ 입니다.

$- 0.02265805$

단계 10.3

$x = 3.7182817$ 에서의 도함수는 $- 0.02265805$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(e, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(e, \infty)$ 에서 감소함

단계 11

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(0, e)$

다음 구간에서 감소: $(e, \infty)$

단계 12